- LG a
- LG b
LG a
Cho số phức \[z=x+yi\]. Khi \[z \ne i\], hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \[{{z + i} \over {z - i}}\]
Phương pháp giải:
Thực hiện chia hai số phức \[\dfrac{{a + bi}}{{c + di}} = \dfrac{{\left[ {a + bi} \right]\left[ {c - di} \right]}}{c^2+d^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle {{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left[ {y + 1} \right]i} \over {x + \left[ {y - 1} \right]i}} \] \[\displaystyle = {{\left[ {x + \left[ {y + 1} \right]i} \right]\left[ {x - \left[ {y - 1} \right]i} \right]} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} \] \[\displaystyle = \frac{{{x^2} + \left[ {xy + x} \right]i - \left[ {xy - x} \right]i - \left[ {{y^2} - 1} \right]{i^2}}}{{{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}\] \[\displaystyle = \frac{{{x^2} + 2xi + \left[ {{y^2} - 1} \right]}}{{{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}\] \[\displaystyle = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}i\]
Vậy phần thực là \[\displaystyle {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}\], phần ảo là \[\displaystyle {{2x} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}\].
LG b
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \[z\] thỏa mãn điều kiện \[{{z + i} \over {z - i}}\] là số thực dương.
Phương pháp giải:
Số phức z=a+bi là số thực dương nếu b=0 và a>0.
Lời giải chi tiết:
Với \[z \ne i\],
Theo câu a, \[\dfrac{{z + i}}{{z - i}} \] \[= \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}}i\]
Nên để \[\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\] là số thực dương thì \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} = 0\\\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} > 0\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} \ne 0\\{x^2} + {y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{\left[ {y - 1} \right]^2} \ne 0\\{y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}y > 1\\y < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y > 1\\x = 0,y < - 1\end{array} \right.\]
Vậy quỹ tích điểm cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn thẳng IJ, trong đó I[0; 1]; J[0; -1].