Bài tập 1 trang 121 toán 12

Bài 1 (trang 121 SGK Giải tích 12): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2;y = x + 2

b) y =|lnx|; y = 1

c) y = (x - 6)2; y = 6x - x2

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình :

x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của pt :

Vậy diện tích cần tìm là:

(Vì lnx > 0 khi 1 < x < e và lnx < 0 khi

).

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của pt :

(x - 6)2 = 6x - x2

⇔ (x – 6)2 + x2 – 6x = 0

⇔ (x - 6). (x - 6+ x) = 0

⇔ (x - 6)(2x - 6) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 6

Vậy diện tích cần tìm là:

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ; y = g(x) và hai đường thẳng x = a ; x = b là :

a) \(y={{x}^{2}},\,y=x+2\);

b) \(y=\left| \ln x \right|,\,y=1\);

c) \(y={{\left( x-6 \right)}^{2}},\,y=6x-{{x}^{2}}\).

Hướng dẫn: Muốn tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \(f_1(x)\,\text{và}\,f_2(x)\) ta làm như sau:

Tìm nghiệm của phương trình \(f_1(x)-f_2(x)=0\) (giả sử là a và b).

Khi đó, diện tích cần tìm \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right|}dx\)

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là

\({{x}^{2}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \)

Diện tích hình phẳng đã cho là

\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{-1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-\left( x+2 \right) \right|dx} \\ & =\int\limits_{-1}^{2} {\left( x+2-{{x}^{2}} \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2+4-\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{1}{3} \\ & =\dfrac{9}{2}\,(\text{đvdt}) \\ \end{aligned} \)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là

\(\left| \ln x \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \ln x=1 \\ & \ln x=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=e \\ & x=\dfrac{1}{e} \\ \end{aligned} \right. \)

Diện tích hình phẳng đã cho là

\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\left| 1-\left| \ln x \right| \right|dx} \\ & =\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\left( 1+\ln x \right)dx}+\int\limits_{1}^{e}{\left( 1-\ln x \right)dx} \\ \end{aligned} \)

Tính \(\int{\ln xdx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & \ln x=u \\ & dx=dv \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\dfrac{1}{x}dx \\ & v=x \\ \end{aligned} \right. \)

\(\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{dx=x\ln x-x+C}\)

Vậy một nguyên hàm của hàm số \(y=\operatorname{lnx}\) là \(F\left( x \right)=x\ln x-x\)

\(\begin{aligned} \Rightarrow S&=x\ln x\left| _{\frac{1}{e}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \end{smallmatrix}}\,+\left( 2x-x\ln x \right) \right.\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} e \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{1}{e}+2e-e-2 \\ & =\dfrac{{{\left( e-1 \right)}^{2}}}{e} \,(\text{đvdt})\\ \end{aligned} \)

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là

\(\begin{aligned} & {{\left( x-6 \right)}^{2}}=6x-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x+36=6x-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+18=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=6 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Diện tích hình phẳng đã cho là

\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{3}^{6}{\left| {{\left( x-6 \right)}^{2}}-\left( 6x-{{x}^{2}} \right) \right|dx} \\ & =2\int\limits_{3}^{6}{\left| {{x}^{2}}-9x+18 \right|dx} \\ & =2\int\limits_{3}^{6}{\left( -{{x}^{2}}+9x-18 \right)dx} \\ & =2\left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{9{{x}^{2}}}{2}-18x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 3 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 6 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2\left( -72+162-108+9-\dfrac{81}{2}+54 \right) \\ & =9\,(\text{đvdt}) \\ \end{aligned} \)