8 271 KB 0 20
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chương 4
Đặc trưng hình học của tiết diện
4.1. Tóm tắt lý thuyết
4.1.1. Các định nghĩa
Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M[x,y] thuộc mặt cắt ngang
lấy vi phân diện tích Da.
a. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox: Sx = ∫ ydA [4.1] [ A] Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox: Sy = ∫ xdA [4.2] [ A] Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài3], giá trị của nó có thể là dương,
bằng 0, hoặc âm.
b. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox Ix = ∫ y dA
2 [4.3] [ A] Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox Iy = ∫ x dA
2 [4.4] [ A] Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn
dương
c. Mô men quán tính độc cực [mô men quán tính của mặt cắt ngang A
đối với một điểm ] Ip = ∫ ρ dA = I
2 x + Iy [4.5] [ A] Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 1 Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài4 ], giá trị của nó luôn
luôn dương
d. Mô men quán tính ly tâm [mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối
với một hệ trục ] I xy = ∫ xydA [4.6] [ A] Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài4 ], giá trị của nó có thể
là dương, bằng 0, hoặc âm. 4.1.2. Các khái niệm
1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện
tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm
3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô
men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ
trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang. 4.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang
Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn hệ
trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C[xC, yC] trong hệ
trục này. Ta có: xC = Sy
A ; yC = Sx
A [4.7] Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản Ai với tọa độ trọng tâm
mỗi hình đơn giản là Ci[ xCi,yCi] trong hệ toạ độ ban đầu, thì:
n xC = Sy
A = ∑ xCi Ai
i =1
n ∑A
i =1 n Sx ∑
= i =1n
; yC =
A i yCi Ai ∑A
i =1 [4.8] i Chú ý:
- Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn
trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng
tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 2 - Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm. 4.1.4. Công thức chuyển trục song song
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng
hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox,
O'v//Oy và:
u = x+b ; v= y+a
[4.9]
v y
b v dA y O
O x x a
u u Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:
Su = S x + a. A Sv = S y + b. A
I u = I x + 2aS x + a 2 A [4.10] I v = I y + 2bS y + b 2 A I uv = I xy + aS y + bS x + abA
Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của
mặt cắt ngang A [O đi qua trọng tâm] thì công thức [4.8] có dạng đơn giản hơn:
Su = a. A
Sv = b. A Iu = I x + a 2 A [4.11] I v = I y + b2 A I uv = I xy + abA
Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên
hình vẽ [ u phía dưới x và v bên trái y]
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 3 4.1.5. Công thức xoay trục
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng
hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ trục mới Ouv xoay một góc
α so với hệ trục Oxy như hình vẽ [ α theo chiều ngược chiều kim đồng hồ].
Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là:
u = xcosα +ysinα ; v = − xsinα +ycosα [4.12] y v dA y u
v α u x x O Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là: Su = − S y sin α + S x cosα
Sv = S y cosα + S x sin α
Ix + I y Iu = + 2
Ix + Iy Iv =
I uv = 2
Ix − Iy
2 − Ix − Iy
2
Ix − Iy
2 cos2α -I xy sin 2α [4.13] cos2α +I xy sin 2α sin 2α + I xy cos2α 4.1.6. Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản
a. Hình chữ nhật bh3
hb3
; Iy =
12
12
b. Hình tròn Ix = Ip = π R4
2 = π D4
32 [4.14] 0,1D 4 ; I x = I y = Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường π R4
4 = π D4
64 0,05D 4 [4.15] Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 4 c. Hình tam giác bh3
Ix =
12 [4.16]
y y h h x x x
b
D b 4.2. Đề bài tập tự giải
Bài 4.1: Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây
y y y
α R x
1 x
3 2
c α R b h y x
a 4 Bài 4.2: Xác định các mô men quán tính I x , I xC của các tiết diện sau [C là trọng tâm tiết diện]: Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 5 yC y
C h xC D xC C x x
b 1
2 a y b
h C a b a xC b
3 C x 4 x xC Bài 4.3: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện 10a R 2R 2a 4a R Bài 4.4: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện [đơn vị
đo trên hình vẽ bằng mm]
30 10 20 100 20 20 100 150 200 40 20 100 150 120 Bài 4.5: Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang
ghép từ các thép góc đều cạnh. Cho a=1cm.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 6 a a a 100x100x8 160x160x10 Bài 4.6: Biết các mô men quán tính Ix=365cm4, Iy=117cm4 và Iu=281,6cm4 của
thép góc không đều cạnh L125 × 80 × 12mm. Tìm các trục chính và các mô men
quán tính chính của mặt cắt ngang.
y u 0 60 x Bài 4.7: Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán
tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ.
100x100x10 N o 27 Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 7 Bài 4.8: Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của
tiết diện ghép bằng nhau. N o 24 N o 20 a Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường a Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 8 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
41 2 MB 5 133
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA
MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một
trục
Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính của một số hình phẳng
đơn giản
Công thức chuyển trục song song của
mômen quán tính
Công thức xoay trục của mômen quán tính
1 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang
đối với một trục
y dF
C y
yC O S X ydF
F
S y xdF
F x xC x 2 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối
với một trục
Sx, Sy mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối
với trục x, y có thứ nguyên Sx, Sy là [chiều dài]3
Do x, y có thể âm hoặc dương nên Sx, Sy có thể
âm hoặc dương.
S =0, S =0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi
X
y
qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ SX=0 thì trục x đi qua
trọng tâm mặt cắt.
Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm
của mặt cắt
3 Trọng tâm mặt cắt Sy
x C
F
y S x
C F 4 Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính của hình phẳng đối với
một trục J X y 2 dF
F
2
J y x dF
F JX, Jy là mômen quán
tính của mặt cắt
ngang đối với trục x,
y, có thứ nguyên là
[chiều dài]4
5 Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính độc cực [mômen quán
tính đối với một điểm]
y 2 J P dF F
dF y F p là khoảng cách từ
A[x,y] đến gốc tọa độ,
với 2 = x2 +y2 O x x J p x y dF J x J y
2 2 F 6 Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính ly tâm J xy xydF
F 7 Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục
nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là
hệ trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán
tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi
là hệ trục quán tính trung tâm.
Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt
cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục
quán tính chính.
Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ
trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng
lập với nó thành một hệ trục quán tính chính.
8 Mômen quán tính của một số hình
phẳng đơn giản
Mặt cắt hình chữ nhật 3 bh
Jx
12 3 hb
Jy
12 9 Mômen quán tính của một số hình
phẳng đơn giản
Mặt cắt hình tam giác 3 bh
Jx
12 10 Mômen quán tính của một số hình
phẳng đơn giản
Mặt cắt hình tròn R
J x J y
2 4 4 D
4
JP
0,1D
32
4
D
4
J x J y
0,05D
64
11 Mômen quán tính của một số hình
phẳng đơn giản
Mặt cắt ngang hình vành khăn
4 4 4 D d
D
JP
1 4 0,1D 4 1 4
32
32
32
4 J P D
J x J y
1 4 0,05D 4 1 4
2
64
12 Bán kính quán tính
Jx
ix
F iy ix , iy: bán kính quán tính của
mặt cắt ngang đối với trục x
và trục y Jy
F 13 Bán kính quán tính
Mặt cắt hình chữ nhật: h
ix
12
b
iy
12 Mặt cắt hình tròn: D
i x i y
4
Mặt cắt hình vành khăn: D
2
i x i y
1
4
14 Công thức chuyển trục song song
của mômen quán tính
Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy.
Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY X x a
Y y b 15 Công thức chuyển trục song song
của mômen quán tính J X J x 2bSx b 2 F
2
J Y J y 2aS y a F
J
J
aS
bS
abF
X
xy
x
y
Y
16 Công thức chuyển trục song song
của mômen quán tính
Nếu x, y là hệ
trục trung tâm, thì
Sx = Sy = 0
2 J X J x b F
2
J Y J y a F
J X Y J xy abF Nếu xy là hệ trục quán
tính chính trung tâm, thì
Sx = Sy = 0 và Jxy = 0
2 J X J x b F
2
J Y J y a F
J X Y abF
17 Công thức xoay trục của
mômen quán tính
Vấn đề
Có diện tích mặt cắt ngang F
Giả sử biết: mômen quán
tính của diện tích F [Jx, Jy,
Jxy] đối với hệ trục Oxy.
Tính mômen quán tính của
diện tích F đối với hệ trục
Ouv
18 Công thức xoay trục
của mômen quán tính
Gọi [u, v] là tọa độ của
điểm A trong hệ tọa độ Ouv,
ta có
u = xcos + ysin
v = -xsin + ycos [a]
Mômen quán tính đối với hệ
trục Ouv là
2
J
v
u dF
F
2
J v u dF
F
J uvdF
uv
F
19 J u J x cos 2 J y sin 2 2J xy sin . cos
2 2 J v J x sin J y cos 2J xy sin . cos 2 2 J uv J x sin cos J y sin cos J xy sin cos
Ju
Jv Jx Jy
2
Jx Jy J uv 2
Jx Jy
2
Jx Jy
2
Jx Jy
2 cos 2 J xy sin 2
cos 2 J xy sin 2 sin 2 J xy cos 2
20 Công thức xoay trục
của mômen quán tính
Vị trí hệ trục quán
tính chính trung
tâm được xác định
từ điều kiện Juv=0
hay tg 2 2J xy
Jx Jy Jx Jy 1
2
2
Trị số mômen
J x J y 4J xy
J max
2
2
quán tính đối với
hệ trục quán tính J J x J y 1 J J 2 4J 2
min
x
y
xy
2
2
chính
21 Ví dụ 4.1
Xác định mômen
quán tính chính
trung tâm của mặt
cắt 22 Ví dụ 4.1
Xác định trọng
tâm mặt cắt
3 Fy
i yc i 1
3 F i 5
a
3 i i 1 23 Ví dụ 4.1
Mômen quán tính
chính trung tâm
F1
x J x J J F2
x J F3
x 143 4
a
3
F1
y J y J J
19a F2
y J F3
y 4 24 Ví dụ 4.1
Bán kính quán tính chính Jx
143 2
ix
a 1,993a
F
3.12 Jy 19 2
iy
a 1,258a
F
12
25 Ví dụ 4.2
Một thanh ghép gồm
hai thanh
Thép chữ có số
hiệu N0 20a
Thép góc đều cạnh
có số hiệu
N08[80x80x6]. Xác
định các mômen
quán tính chính và
phương của hệ trục
quán tính chính trung
tâm của mặt cắt.
26 Ví dụ 4.2
Đối với thép chữ
[số hiệu N0 20a]
h = 20cm
b = 8cm
1
z 1 = 2,27cm F = 25cm2 J = 1660cm4 J = 137cm4 1 x1
y1 27 Ví dụ 4.2 Đối với thép chữ góc
đều cạnh [số hiệu N0 8
[80x80x6]
b2= 8cm z2 = 2,19cm F2 = 9,38cm2 Jx2 = Jy2 = 57cm4 Jx0 = Jmax = 90,4cm4 Jy0 = Jmin = 23,5cm4
28 Ví dụ 4.2
Xác định trọng
tâm mặt cắt:
xC 1,217cm
yC 2,13cm
Lập hệ trục trung tâm
XCY, gọi C1 và C2 là
tọa độ trọng tâm của
thép và thép V:
C1[-1,217; -2,13],
C2[3,25; 5,68]
29 Ví dụ 4.2 Mômen quán tính
chính và phương của
hệ trục quán tính
chính trung tâm của
mặt cắt.
F1
X J X J J
F1
Y J Y J J J XY J F1
XY F2
X F2
Y J F2
XY
30 Ví dụ 4.2
J J YC1 F1 1660 25x 2,132 1773,4cm 4
J F1
X F1
x1 2 F2
X F2
x2 2 J 2 YC 2 F2 57 9,38 5,68 359,6cm 4 J J X C1 F1 137 25x1,217 2 173,6cm 4 J F1
Y F1
y1 F2
Y F2
y2 J 2 X C2 F2 57 9,38x 3,25 156cm
2 2 4 31 Ví dụ 4.2 Để tính được mômen quán
tính ly tâm, trước tiên ta phải
tính mômen ly tâm của thép
góc đều cạnh đối với hệ trục
O2x2y2. J x 2 y2 J x 0 J y0
2 sin2=sin900=1
Jx0y0=0 sin 2 J x 0 y0 cos 2 J x 2y2 990,4 23,5
4
33,45cm
2
32 Ví dụ 4.2 J F1
XY J F1
x1 y1 a1b1 F1 0 1,21x 2,13 x 25
64,4325cm
J F2
XY J F2
x2 y 2 4 a2b2 F2 33,45 [3,25 x5,68]9,38
206,6cm 4 33 Ví dụ 4.2 F1
X F2
X F1
Y F2
Y J X J J J Y J J J XY J F1
XY J 2133cm 330cm
F2
XY 4 4 271cm 4 34 Ví dụ 4.2
Phương của hệ trục quán
tính chính trung tâm là:
2J XY
2x 271
tan 2
0,301
JX JY
2133 330 Giải ra ta được 1= -8036’, 2=81024’ 35 Ví dụ 4.2
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục
quán tính chính trung tâm J max
min JX JY
2 JX 2 J Y 4J 2XY
2
2 J max
min 2 2133 330 4.271
2133 330
2
2
2171,5cm
4
292,5cm 4 36 Ví dụ 4.3
Xác định
mômen
quán tính
chính
trung tâm
của mặt
cắt 37 Xác định trọng tâm mặt cắt
Chọn hệ trục xOy, chia mặt cắt
thành hai hình, trọng tâm mặt cắt
được xác định từ công thức xC 1,5a
yC 4a Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa
độ C[1,5a; 4a]. Qua C lập hệ
trục trung tâm XCY, khi đó C1,
C2 đối với hệ trục XCY là C1 0,5a, a
C 2 a, 2a
38 Ví dụ 4.3
Mômen quán tính chính
F1
X J X J J
F1
Y F2
X J Y J J
J XY J F1
XY 32a F2
Y J 4 17a
F2
XY 4 12a 4 39 Ví dụ 4.3
Phương của hệ trục quán tính
chính trung tâm của mặt cắt.
2J XY
2x12a 4
tan 2
1,6
4
4
JX JY
32a 17a Giải ra ta được 1= -290, 2=610 40 Ví dụ 4.3
Trị số mômen quán tính đối với
hệ trục quán tính chính trung
tâm là: J max
min JX JY
2
4 J max
min 4 JX
4 2 J Y 4J 2XY
2
4 2 32a 17a 4 12a
32a 17a
2
2 4 2 38,65a 4
10,85a 4
41 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan