Với Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
Cách xác định số hạng của dãy số
1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u[n]
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:
u[1]; u[2]; u[3]; ....u[n];....
♦ Ta kí hiệu u[n] bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.
♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3…..un,.... hoặc dạng rút gọn [un].
2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:
♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng [hoặc một vài số hạng] đứng trước nó.
Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Đáp án và hướng dẫn giải
Xét dãy [un] có dạng: un=an3+bn2+cn+d
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1
⇒ un=n3-3n+1 là một quy luật .
Số hạng thứ 10: u10=971.
Bài 2: Cho dãy số [un] được xác định bởi
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
Đáp án và hướng dẫn giải
Ta có năm số hạng đầu của dãy
Ta có:
do đó un nguyên khi và chỉ khi
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4=7.
Bài 3: Cho dãy số [un] xác định bởi:
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng un=u4;
Đáp án và hướng dẫn giải
1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61.
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1
* Giả sử uk=2k+1-3 , ta chứng minh u_[k+1]=2k+2-3
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
uk+1=2uk+3=2[2k+1-3]=2k+2-3 [đpcm].
Cách tìm công thức của số hạng tổng quát
• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un .
• Nếu dãy số [un] được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số [chẳng hạn tính u1; u2; ... ]. Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:
un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.
Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2
Hướng dẫn giải:
Ta có:
4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3
16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6
Suy ra số hạng tổng quát un = 4n.
Chọn A .
Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un = 7n + 7. B. un = 7n .
C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1
29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:
Chọn B.
Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng
* Để chứng minh dãy số [un] là một cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un
Nếu A là hằng số thì [un] là một cấp số cộng với công sai d = A.
Nếu A phụ thuộc vào n thì [un] không là cấp số cộng.
* Ngoài ra; để chứng minh dãy số [un] không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số [un] với un = 17n + 2 là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 17[n + 1] + 2 = 17n + 19
=> Hiệu: un+1 – un = [17n + 19] − [17n + 2] = 17
Suy ra: [un] là cấp số cộng với công sai d = 17.
Ví dụ 2: Chứng minh dãy số [un] với un = 10 − 5n là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 10 − 5[n+1]= 5 − 5n.
Xét hiệu: un+1 − un = [5 − 5n] − [10 − 5n] = −5
=> [un] là một cấp số cộng với công sai d = −5.
Ví dụ 3: Cho dãy số [un] với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số [un] không phải là cấp số cộng .
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 2n+1 + 3
Xét hiệu: un+1 − un = [2n+1 + 3] − [2n + 1]= 2n+1 − 2n
=> [un+1 − un] không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số [un] không là cấp số cộng.
Ví dụ 4: Cho dãy số [un] với
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Xét hiệu:
=> [un+1 − un] còn phụ thuộc vào n nên dãy số [un] không là cấp số cộng.
Tài liệu gồm 07 trang, tổng hợp kiến thức cần nhớ, bài tập mẫu, bài tập tương tự và phát triển chủ đề cấp số cộng – cấp số nhân, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh ôn thi THPT môn Toán.
Các bài toán cấp số cộng – cấp số nhân được chọn lọc bám sát đề minh họa THPT môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: Nếu là cấp số cộng với công sai d. Số hạng tổng quát: Định lý 1: Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức. Tính chất: Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Định lý 3: Cho cấp số cộng. Đặt. Khi đó. 2. CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Nếu là cấp số nhân với công bội q. Số hạng tổng quát: Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức. Tính chất: Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Định lý 3: Cho cấp số nhân với công bội q. 3. CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q sao cho |q| < 1. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cho là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức S.
2. BÀI TẬP MẪU
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm các yếu tố của cấp số cộng và cấp số nhân. 2. Hướng giải: Dựa vào định nghĩa cấp số nhân để tìm công bội.3. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Bài 3: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu bằng 25.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
Bài 5. Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có mấy số hạng
Bài 6. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
Bài 7. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62
Bài 8. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72
Bài 9: cho 3 số x, y, z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời chúng là số hạng đầu, số hạng thứ 3 và thứ 9 của 1 CSC. Tím 3 số đó, biết tổng của chúng bắng 13.
Bài 10: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q khác 1, đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai khác 0. Tìm q.
Bài 11: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, 3 số x, y-4, z theo thứ tự lập thành 1 CSN, và các số x, y-4, z-9 theo thứ tự lập thành 1 CSC. Tìm x,y,z.
Tải tài liệu này tại đây. Đặt mua Sách tham khảo toán 11 tại đây! Tải bản WORD tại đây.