Giống như cuốn sách 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 của cùng tác giả Lê Hoành Phò, cuốn sách này cũng bao gồm 21 chuyên đề với nội dung là tóm tắt kiến thức trọng tâm của Toán phổ thông và Toán chuyên, phần các bài Toán chọn lọc có khoảng 900 bài với nhiều dạng loại và mức độ từ cơ bản đến phức tạp, bài tập tự luyện khoảng 250 bài, có hướng dẫn và đáp số.
Cuốn sách 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi [HSG] môn Toán 12 – Lê Hoành Phò có 3 chuyên đề nâng cao: Đa thức, Phương trình nghiệm nguyên và Toán suy luận. Nội dung cụ thủ như sau:
+ Chuyên đề 1. Tính đơn điệu và cực trị
+ Chuyên đề 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
+ Chuyên đề 3. Bài toán liên quan đồ thị
+ Chuyên đề 4. Hàm số mũ và logarit
+ Chuyên đề 5. Phương trình mũ và logarit
+ Chuyên đề 6.Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
+ Chuyên đề 7. Nguyên hàm hàm hữu tỉ, hàm lượng giác
+ Chuyên đề 8. Nguyên hàm hàm vô tỉ, hàm lượng giác
[ads]
+ Chuyên đề 9. Ứng dụng tích phân
+ Chuyên đề 10. Số phức và ứng dụng
+ Chuyên đề 11. Phép biến hình không gian
+ Chuyên đề 12. Khối đa diện và lăng trụ
+ Chuyên đề 13. Khối tứ diện và khối chóp
+ Chuyên đề 14. Khối tròn xoay
+ Chuyên đề 15. Tọa độ không gian
+ Chuyên đề 16. Phương trình đường và mặt
+ Chuyên đề 17. Lý thuyết số
+ Chuyên đề 18. Phương trình hàm
+ Chuyên đề 19. Nghiệm của đa thức
+ Chuyên đề 20. Tổ hợp và rời rạc
+ Chuyên đề 21.Dãy số
LỜI NÓI ĐẦU Để giúp cho học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tự bồi dưỡng, nâng cao và rèn luyện kĩ năng giải toán theo chương trình phân ban mới. Trung tâm sách giáo dục ANPHA xin trân trọng giới thiệu quý bạn đồng nghiệp và các em học sinh cuống “Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Hình học 12” này. Cuốn sách này nằm trong bộ sách 6 cuốn gồm: - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Hình học 10. - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 10. - Bôi dưỡng học sinh giỏi toán Hình học 11. - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số - Giải tích 11. - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Hình học 12. - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Giải tích 12. do nhà giáo ưu tú, Thạc sĩ Lê Hoành Phò tổ chức biên soạn. Nội dung sách được biên soạn theo chương trình phân ban: cơ bản và nâng cao mới của Bộ GD & ĐT, trong đó một số vấn đề được mở rộng với các dạng bài tập hay và khó để phục vụ cho các em yêu thích muốn nâng cao toán học, có điều kiện phát triển tốt nhất khả năng của mình. Cuốn sách là sự kế thừa những hiểu biết chuyên môn và kinh nghiệm giảng dạy của chính tác giả trong quá trình trực tiếp đúng lớp bồi dưỡng cho học sinh giỏi các lớp chuyên toán. Với một nội dung súc tích, tác giả đã cố gắng sắp xếp, chọn lọc các bài toán tiêu biểu cho từng thể loại khác nhau ứng với nội dung của SGK. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải được dựa trên nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản. Học sinh cân tự mình hoàn thiện các kĩ năng cũng như phát triển tư duy qua việc giải câu bài tập có trong sách trước khi đối chiếu với lời giải có trong sách này, có thể một số lời giải có trong sách còn cô đọng, học sinh có thể tự mình làm rõ hơn, chi tiết hơn, cũng như tự mình đưa ra những cách lập luận mới hơn. Chúng tôi hy vọng bộ sách này sẽ là một tài liệu thiết thực, bổ ích cho người dạy và học, đặc biệt các em học sinh yêu thích môn toán và học sinh chuẩn bị cho các kỳ thi quốc gia do Bộ GD & ĐT tổ chức sắp tới. Trong quá trình biên soạn, cuốn sách này không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được góp ý của bạn đọc gần xa để bộ sách hoàn thiện hơn trong lầu tải bản. Xin chân thành cảm ơn!
Tác giả
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tự bồi dưỡng, nâng cao và rèn luyện kĩ năng giải toán theo chương trình phân ban mới. Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu đến quý bạn đồng nghiệp và các em học sinh cuốn “Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Đại Số – Giải Tích 12 Tập 1” do nhà giáo ưu tú, Thạc sĩ Lê Hoành Phò tổ chức biên soạn. Nội dung được biên soạn theo chương trình phân ban: cơ bản và nâng cao mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong đó một số vấn đề được mở rộng với các dạng bài tập hay và khó để phục vụ cho các em yêu thích muốn nâng cao toán học, có khả năng phát triển tốt nhất khả năng của mình. Cuốn sách là sự kế thừa những hiểu biết chuyên môn và kinh nghiệm giảng dạy của chính tác giả trong quá trình trực tiếp đứng lớp bồi dưỡng cho học sinh giỏi các lớp chuyên toán.
Cuốn sách Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Đại Số – Giải Tích 12 [ Tập 1 ] gồm các nội dung chính như sau:
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Tính đơn điệu của hàm số
- Cực trị của hàm số
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
- Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Khảo sát và vẽ hàm đa thức
- Khảo sát và vẽ hàm hữu tỉ
- Bài toán thường gặp về đồ thị
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số Logarit
- Quy tắc biến đổi các hàm số
Với nội dung xúc tích, tác giả đã cố gắng sắp xếp, chọn lọc các bài toán tiêu biểu cho từng thể loại khác nhau ứng với nội dung của SGK. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải được dựa trên nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản. Học sinh cần tự mình hoàn thiện những kĩ năng cũng như phát triển tư duy qua việc giải các bài tập trong sách trước khi đối chiếu với lời giải có sẵn.
Chúng tôi hi vọng cuốn sách này sẽ là một tài liệu thiết thực, bổ ích cho người dạy và học, đặc biệt các em yêu thích môn toán và học sinh chuẩn bị cho các kì thi Quốc gia.
Tập 1
Đọc Online
Tập 2
Đọc Online
Download Ebook Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Đại Số Giải Tích 12
Tập 1
Download PDF
Tập 2
Download PDF
46 1 MB 1 21
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 46 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 1 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 MỤC LỤC PHẦN
I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI Trang DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 2. Các diễn đàn :
www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl,
www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,…
Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4 3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi [ Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ] 4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … [ Trần Phương - Lê Hồng Đức ] 6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP [Phan Huy Khải ] 7. Bộ sách : Toán nâng cao [ Phan Huy Khải ] 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 [ Trần Thành Minh ] 9. Sáng tạo Bất đẳng thức [ Phạm Kim Hùng ] 10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá [ Phạm Văn Thuận ] 11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học [ Trần Phương ] 12. 340 bài toán hình học không gian [ I.F . Sharygin ] 13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán [ Đào Tam ] 14. … và một số tài liệu tham khảo khác . 15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. 1. MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 1 2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : y =−2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại . ĐS : m < -2 3 1 + xsin2 x − 1, x =/ 0
2. Cho hàm số : f[x] =
. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu
0
, x =0
tại x =0 .
3. Tìm cực trị của hàm số :=
y f[x]
= | x | [ x − 3] . ĐS : x =0 ; x=1
4. Xác đị nh các giá trị của tham số m để các phương trì nh sau có nghiệm thực :
7
9
a] [ 4m − 3] x + 3 + [3m − 4 ] 1 − x + m − 1 =
0 . ĐS : ≤ m ≤
9
7
b]
c] 4 x2 + 1 − x =
m . ĐS : 0 < m ≤ 1 m [ ] 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x2 − 1 − x2 x2 + y 3 =
2
5. Xác đị nh số nghiệm của hệ phương trình :
ĐS : 2
log3 x log 2 y = 1
x2 + 1
y 2 −x2
e
=
. ĐS : [x,y]=[7;7]
6. Giải hệ phương trình :
y2 + 1
3log [x + 2y=
+ 6] 2log 2 [x + y + 2] + 1
3
2
y −1
x + x − 2x + 2= 3 + 1
7. Giải hệ phương trình :
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1 [ ] 1 + 42x−y .5y −2x+1 =
22x−y +1 + 1
8. Giải hệ phương trình :
3
2
0
y + 4x + ln y + 2x + 1 =
9. Giải phương trình : [ x − 3] log3 [x − 5] + log5 [x − 3] =
x +2
10. Giải bất phương trì nh : [ ] [x + 2][2x − 1] − 3 x + 6 ≤ 4 − [x + 6][2x − 1] + 3 x + 2 . ĐS : 11. Giải bất phương trì nh : 3 3 − 2x + [ 5 2x − 1 ] − 2x ≤ 6 12. Giải phương trình : 3x 2 + 9x 2 + 3 + [ 4x + 2] 13. Giải phương trình : x3 − 4x 2 − 5x +=
6 3 [ 1
≤ x ≤7
2 ] 1 + x + x2 + 1 = 0 7x 2 + 9x − 4
2 xy − y + x + y =
5
. ĐS : m ∈ 1; 5
14. Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm :
5
x
1
y
m
−
+
−
=
1
15. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x + x − 1 m x +
1.
+ 4 x [ x − 1] =
x −1
x + 1 + y + 1 =
3
16. Tìm m để hệ có nghiệm:
m
x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 = [ ] 17. Giả sử f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0] đạt cực đại tại x1 ;x2 . CMR: 2 f '''[x] 1 f ''[x]
, ∀x ≠ x1 ,x2
<
f '[x] 2 f '[x] 18. Cho hàm số : f[x] = cos2 2x + 2[sin x + cosx]3 − 3sin2x + m . Tìm m sao cho f 2 [x] ≤ 36, ∀ m 19. Trong các nghiệm[x;y] của BPT : log x2 +y2 [ x + y ] ≥ 1 . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN
20. [ Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ] Giải phương trì nh : 2009 x [ ] x 2 +1 - x = 1 . ĐS : x=0 21. [ Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ] . Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt :
m
x + y =
3 3
ĐS : m ≥
2
2
[ y + 1 ] x + xy = m [ x + 1 ] MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 2 3 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM x − y 4 =
240
22. Giải hệ PT : 3
3
2
2
x − 2y = 3 x − 4y − 4 [ x − 8y ]
x 4 + x3 y + 9y = y 3 x + y 2 x2 + 9x
23. Giải hệ phương trình :
. ĐS : [x,y]=[1;2]
3
3
7
x y − x =
4 [ ] [ [ ] ] 4x 2 + 1 x + [ y − 3] 5 − 2y =
0
24. Giải hệ phương trình :
4x 2 + y 2 + 2 3 − 4x =
7
2 xy − y + x + y =
5
25. Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm :
. ĐS : m ∈ 1; 5
m
5 − x + 1 − y =
1
26. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x + x − 1 m x +
1.
+ 4 x [ x − 1] =
x −1
3[ x + 1 ]2 + y − m =
0
27. Tìm m để hệ phương trình :
có ba cặp nghiệm phân biệt .
1
x + xy = [ ] x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 1
28. Giải hệ PT :
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1 sin x
x −y
e = sin y
29. [ Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ] .Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy − 1
Π
x,y ∈ 0;
4
3
30. Giải phương trình : 16x3 − 24x 2 + 12x − 3 =
x
2x
y
y
2x
1
2x
−
−
+
1+4
.5
2 −y +1 + 1
=
31. Giải hệ phương trình :
3
2
0
y + 4x + ln y + 2x + 1 =
32. Giải phương trình : 3x = 1 + x + log3 [1 + 2x ] [ ] [ ] 33. Giải phương trình : −2x3 + 10x 2 − 17x=
+ 8 2x 2 3 5x − x3 ĐS x + xy =y + y
34. Giải hệ phương trình :
2
6
4x + 5 + y + 8 =
5 4 10 6 x2 + 2x + 22 − y = y 2 + 2y + 1
35. Giải hệ phương trình :
y 2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1 1
x+ y=
2
36. Giải hệ phương trình :
y
x
x + 1 = y + 1
y
x
37. [ Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ] . Giải phương trình : [5x − 6]2 −
Lời giải : ĐK : x > 7
5 1 5x − 7 = x2 − 1 x −1 4x − 6
3
=0 ⇔ x =
2
[x − 1][5x − 7]. x − 1 + 5x − 7
2
1
1
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : [5x − 6 ] −
x2 −
=
[5x − 6] − 1
x −1 Cách 1 : PT ⇔ 6[4x − 6][x − 1] + Và xét hàm
số : f[t] t 2 −
= 1 t −1 ,t> 5
7 MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 3 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 4 38. [ Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ] Xác định tất cả các gi á trị của tham số m để BPT sau có nghi ệm : x3 + 3x2 − 1 ≤ m[ x − x − 1]3 HD : Nhân liên hợp đưa về dạng : [ ] 3 x + x − 1 [x3 + 3x2 − 1] ≤ m 39. [ Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ] . Giải phương trình :
HD : PT ⇔ [x + 1]3 + =
[x + 1] [ 3x + 1 ] 3 x3 + 3x2 + 4x + 2= [3x + 2] 3x + 1 + 3x + 1 . Xét hàm số : f [ t] = t 3 + t ,t > 0 40. [ Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ] . Giải phương trình : 2 3 2x −=
1 27x3 − 27x 2 + 13x − 2 HD : PT ⇔ [2x − 1] + 2 3 2x − 1= [3x − 1]3 + 2[3x − 1] ⇒ f[ 3 2x − 1] =
f[3x − 1] [4x 2 + 1]x + [y − 3] 5 − 2y =
0
41. [ Đề thi Khối A – năm 2010 ] Giải hệ phương trình :
2
2
7
4x + y + 2 3 − 4x =
HD : Từ pt [1] cho ta : [[2x]2 + 1].2x=
[ 5 − 2y ] 2 + 1 5 − 2y ⇒ f[2x]= f[ 5 − 2y ]
Hàm số : f[t] [t 2 + 1].t ⇒ f '[t] =
=
3t 2 + 1 > 0 ⇒ 2x = 5 − 2y ⇒ 4x 2 =5 − 2y ⇒ y =
2 5 − 4x 2
2 5 − 4x 2
3
[ Hàm này nghịch biến trên khoảng ] và có
Thế vào [2] ta có : 4x 2 +
7 , với 0 ≤ x ≤
+ 2 3 − 4x =
4
2
1
nghiệm duy nhất : x = .
2
x + y =
4
[a là tham số].
42. [ Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ] . Cho hệ:
x + 7 + y + 7 ≤ a
Tìm a để hệ có nghiệm [x;y] thỏa mãn điều ki ện x ≥ 9.
HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của bi ến khi muốn quy về 1 biến để khảo s át :
4 − x =y ≥ 0 ⇒ x ≤ 16 . Đặt t = x , t ∈[3;4] và khảo s át tìm Min . ĐS : a ≥ 4 + 2 2 43. Giải hệ phương trình : y 4 − 4x + 2xy −2x+4 =
5
x
3
3
y
2 + x = y + 2 44. Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm đúng với mọi x : [e sinx ] 2 − e + 1 − 2esinx esinx − [e − 1]sinx − 1 ≤ 1 45. [ Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ] . Giải PT : log 2+ 5 [x 2 − 2x
=
− 11] log 2 2+ 5 [x2 − 2x − 12] 46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: [ 4m − 3] x + 3 + [3m − 4 ] 1 − x + m − 1 =
0 y 2 −x2 x 2 + 1
= 2
e
47. [Olympic 30-4 lần thứ VIII ] . Giải hệ phương trì nh sau:
y +1
3log [x + 2y=
+ 6] 2log 2 [x + y + 2] + 1
3
48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : −x
Cho f[x] = [x2 + 1]e , x > 0 . Tìm a để tồn tại f’[0] .
−x − ax + 1, x ≤ 0
acosx + bsin x, x ≤ 0
Cho F[x] =
. Tìm a,b để tồn tại f’[0] .
ax + b + 1, x < 0 x2
x2
x ln x, x > 0
ln x − , x > 0
và f[x] =
. CMR : F'[x] = f[x]
F[x] = 2
4
0, x = 0
0, , x = 0
Cho f[x] xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀a > 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀x ∈ R : | f[x + a] − f[x] − a |< a2
. Chứng minh f[x] là hàm hằng . MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 4 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 5 Tính giới hạn : N1 = limπ
x→ 4 Tính giới hạn : N3 = lix→m0 3 Tính gi ới hạn : N2 = lim x 2 + x + 1 − 3 1 + x3
x esin 2x − esinx
x→0
sin x Tính giới hạn : N4 = lim
Tính giới hạn : N6 = lim sin10x 4x − x 4
Tính giới hạn : N8 = lim
x→0 3
x−32 3 sin 3x
sin2x
Tính giới hạn : N7 = lim e − e
x→0 2 e−2x − 3 1 + x2
x→0
ln[1 + x 2 ] 3
Tính giới hạn : N5 = lim x + 8 − 2
x→0 Tính giới hạn : N9 = lim
x→0 2 e−2x − 3 1 + x2
x→0
ln[1 + x 2 ] tanx − 1
2sin2 x − 1
3 sin4x 2 .32x − cos4x
3x 1 + sinx − 1 − sinx
Cho P[x] là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ; x3 ...x n . Chứng minh các đẳng thức sau : P''[x1 ] P''[x 2 ]
P''[x n ]
0
+
+ ... +
=
P'[x1 ] P'[ x2 ]
P'[x n ] a] 1
1
1
0
+
+ ... +
=
P'[x1 ] P'[x 2 ]
P'[x n ] b] Tính các tổng sau :
a] Tn [x] = cosx + 2cos2x + ... + ncosnx
b]
c] d] Tn=
[x] CMR : 1
x 1
x
1
x
tan + 2 tan 2 + ... + n tan n
2
2 2
2
2
2 2.1.C2n + 3.2.C3n + ... + n[n − 1]Cnn= n[n − 1].2n−2 Sn [x] = s inx + 4sin2x + 9sin3x + ... + n2sinnx 2x + 1
2x + 3
2x + [2n − 1]
+
+ ... +
2
2
2
2
x [x + 1] [x + 1] [x + 2]
x + [n − 1] [x + n]2
49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số :
e] =
Sn [x] 2 α a n + bn
a+b
Cho α ∈ R: a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
≤
2
2
b] Chứng minh rằng với a > 3,n ≥ 2 [ n ∈ N,n chẵn ] thì phương trình s au vô nghiệm : a] [n + 1]x n+2 − 3[n + 2]x n+1 + a n+2 =
0 2 x2
x2
c] Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị : y =
− 3m
+ 4m
[m + 1]
2
2
1 + x
1 + x
x2
xn
x2
xn
d] Cho n ≥ 3,n∈ N [ n lẻ ] . CMR : ∀x =
/ 0 , ta có : 1 + x + + ... + 1 − x + − ... − < 1
2!
n!
2!
n!
e] Tìm cực trị của hàm số : y = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1
f] g] Tìm a để hàm
số : y f[x] = −2x + a x 2 + 1 có cực tiểu .
=
Tìm m để hàm số : y = msin x − cosx − 1
đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng
mcosx 50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm :
a] 9π
0; 4
Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ax 2 + [ b + c ] x + d + e =
0 có nghiệm thực thuộc nửa khoảng [1; +∞ ] thì phương trình : ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e =
0 có nghiệm. b] Cho phương trình : P[ x ] = x5 − 5x 4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 =
0 . Chứng minh rằng, phương trình có một nghi ệm thực
duy nhất. MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 5 Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC 6 PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC
1. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
f[x]
a] lim
=1
x→0 x
b] f [ x + y ]= f [ x ] + f [ y ] + 2x 2 + 3xy + 2y 2 , ∀x,y ∈ R [ ] [ ] 2. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f [ x − f[y]] =
f x + y 2008 + f f[y] + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R [ ] 3. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f [ x + cos[2009y]] = f [ x ] + 2009cos f [ y ] , ∀x,y ∈ R 4. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
c] d] f [ x ] ≥ e2009x f [ x + y ] ≥ f [ x ] .f [ y ] , ∀x,y ∈ R 5. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f =
[ x + y ] f[x].ef [ y ]−1 , ∀x,y ∈ R [ ] 6. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f [ x +=
y ] f[y.f [ x ]] + x 2
7. [ Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ] Tìm hàm f : → thỏa mãn : f 2 [x] + 2yf[x] + f[y] = f [ y + f[x]] , ∀,x,y ∈ R MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 6 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 7 PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
1. Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 =
3 . Chứng minh rằng : a2b + b2c + c2a ≤ 3
2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng : a2b2 [ a − b ] + b2c2 [ b − c ] + c2a2 [ c − a ] ≥ [ a − b ] [ b − c ] [ c − a ]
2 2 2 3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng : 2 2 2 a2 b2 c2 81
a2b
13
+ + + ∑
≥ [a + b + c]
2
b c a 4
[2a + b] 4 4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc =
2 . Tìm Max của : P = a7 b8 c9 5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR :
6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của : a
b
c
3
+
+
≤
a+b
b+c
c+a
2 [a + b + c]
P= 6 ab2c3
7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1
8.
9.
10.
11. 2x − [y − z]2 2y − [z − x]2 2z − [x − y]2
+
+
yz
zx
xy
bc
ca
ab
a+b+c
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
+
+
≤
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6
1
1
1
1
Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 3
+
+
≤
a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
1
1
1
Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 2
1 . CMR : ab + bc + ca ≤ 3
+ 2
+ 2
=
a +2 b +2 c +2
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 =
3 . CMR :
1
1
1
+
+
≥3
2−a 2−b 2−c
CMR : 12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR : x
y
z
3 2
+
+
≤
x+y
y +z
z+x
2 a2 b2 c2
4[a − b]2
+ + ≥a+b+c+
b c a
a+b+c
1
1
1
3
14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : 3
+ 3
+ 3
≥
a [b + c] b [c + a] c [a + b] 2
15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à [ x − 1 ][ y − 1 ][ z − 1 ] =/ 0 . CMR :
13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 2 2 2 x y z
x −1 + y −1 + z −1 ≥ 1
[3a − b + c]2
[3b − c + a]2
[3c − a + b]2 9
16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR :
+
+
≥
2a2 + [b + c]2 2b2 + [c + a]2 2c2 + [a + b]2 2 17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =
1 . CMR :
1
1
1
9
+
+
≤
1 − ab 1 − bc 1 − ca 2 18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =
9 . CMR : 2[a + b + c] ≤ 10 + abc a3
b3
c3
1
+
+
≥
2
2
[1 − a] [1 − b] [1 − c]2 4
20. [Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ] Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :
9[a 4 + b4 + c4 ] − 25[a2 + b2 + c2 ] + 48 =
0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR : F= a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 7 8 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải :
Từ giả thiết : 9[a 4 + b4 + c4 ] − 25[a2 + b2 + c2 ] + 48 =0 ⇒ 25[a2 + b2 + c2 ] = 48 + 9[a 4 + b4 + c4 ] ≥ 48 + 3[a2 + b2 + c2 ]2 ⇒ 3[a2 + b2 + c2 ]2 − 25[a2 + b2 + c2 ] + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ Ta lại có : F= 16
3 a2
b2
c2
a4
b4
c4
[a2 + b2 + c2 ]2
+
+
= 2
+ 2
+ 2
≥ 2
2
b + 2c c + 2a a + 2b a [b + 2c] b [c + 2a] c [a + 2b] [a b + b c + c2a] + 2[a2c + b2a + c2b] Lại có : a2 b + b2c + c2a= a[ab] + b[bc] + c[ca] ≤ [a2 + b2 + c2 ][a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2
Tương tự : [a2c + b2a + c2b] ≤ a2 + b2 + c2 . a2 + b2 + c2
3 [a2 + b2 + c2 ]2
3 a +b +c
≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1.
3
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN
2 Từ đó ta có : F ≥ 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a2
[b + 2c]a2
a2 [b + 2c]a2 2a2
.
+
≥2
=
b + 2c
9
b + 2c
9
3 b2
[c + 2a]b2 2b2 c2
[a + 2b]c2 2c2
.
,
+
≥
+
≥
c + 2a
9
3 a + 2b
9
3 Tương tự a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b
2
1
≥ a2 + b2 + c2 − a2 [b + 2c] + b2 [c + 2a] + c2 [a + 2b] [*] .
3
9
Lại áp dụng AM – GM, ta có
a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3
a2c + b2a + c2b ≤
+
+
=a3 + b3 + c3 [**] .
3
3
3
Từ [*] và [**] suy ra:
2
1
2
1
F ≥ a2 + b2 + c2 − [ a + b + c ][a2 + b2 + c2 ]
≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2
3
9
3
9
F= Suy ra: [ Đặt =
t [ ] [ ] ] [ [
]
25[ a + b + c ] − 48= 9 [ a + b + c ] ≥ 3[ a + b + c ]
⇒ 3[ a + b + c ] − 25[ a + b + c ] + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a + b + c
3 a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có:
2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 ] 3[ a 2 ] + b2 + c2 . 2 2 2
1
Do đó F ≥ t 2 − t 3 =
f[t] với t ∈3; 4 [* * *] .
9
27
Mà min f[t]
= f[3]
= 1 [* * **] . Từ [***] và [****] suy ra F ≥ 1. 2 ≤ 16
.
3 t ∈3;4 Vậy minF = 1 xảy ra khi a = b= c = 1 . 21. [ Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ] Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng :
1 1 1
36
+ + ≥
2 2
x y z 9 + x y + y 2 z2 + z2 x 2
Lời giải :
BĐT đã cho tương đương với : [9 + x y
2 2 1 1 1
+ y 2z2 + z2 x2 + + ≥ 36
x y z ] 3 2
xy + yz + zx
Ta =
có : [ xyz ] [xy][yz][zx] ≤
3
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 8 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 9 1 1 1 xy + yz + zx 27 [ xy + yz + zx ]
27
Do đó : =
+ +
=
≥
3
xyz
xy + yz + zx
[xy + yz + zx]
x y z
2 2 2 [ ] Lại có : 9 + x 2 y 2 + y 2z2 + z2 x2 =
6 + x 2 y 2 + 1 + [y 2z2 + 1] + [z2 x2 + 1] ≥ 2 3 + [xy + yz + zx] Nên : [ VT ] 2 2
27
9
.
108
≥ 4 3 + [xy + yz + zx] =
+ 6 + [xy + yz + zx] ≥
xy + yz + zx
xy + yz + zx
9
≥ 108 6 + 2
[xy + yz + zx] =
1296 ⇒ VT ≥ 36
xy + yz + zx
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương
[xy + yz + zx][9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2] ≥ 36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 3 x 2 y 2z2 [1] Và 9+ x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 12 x 4 y 4 z 4 hay 9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 3 xyz [2] Do các vế đều dương, từ [1], [2] suy ra:
[xy + yz + zx][9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2] ≥ 36xyz [đpcm].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 22. [ Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ] Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + 1 =
3xy . Tìm giá trị
lớn nhất của :=
M
Lời giải : M
= Ta có : 3x
3y
1 1
+
− 2− 2
y[x + 1] x[ y + 1] x
y Ta có : 3xy = x + y + 1 ≥ 2 xy + 1 ⇒ xy ≥ 1 ⇒ xy ≥ 1 [*] 2
3x
3y
1 1
1
1
3xy[x + y] − [x + y]2 + 2xy 3xy [3xy − 1 ] − [1 − 3xy] + 2xy
=
+
=
=
+
−
−
y 2 [3x − 1] x 2 [3y − 1] x 2 y 2 y 2 [3x − 1] x2 [3y − 1] x2 y 2 9xy − 3[x + y ] + 1
4x2 y 2 23. [ Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ] Cho các số thực dương a, b, c . CMR : a3
b3
c3 a b c
+
+
≥ + +
b3
c3
a3 b c a a3
a3
a
+ 3 +1≥3
3
b
b
b
HD :
a3
b3
c3
3 ≤ 3 + 3 + 3
b
c
a
24. [ Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ] . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức : P= 6[y + z − x] + 27xyz
y 2 + z2
1 − x2
HD : P ≤ 6 2[y 2 + z2 ] − x + 27x.
= 6 2[1 − x 2 ] − x + 27x
[ PMax = 10]
2
2
25. [ Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ] . Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 =
1 . Chứng minh rằng : a3 + 2b3 + 3c3 ≥ 6
7 HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ
26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz = 1 . Chứng minh rằng : [x 4 + y 4 ]3 [y 4 + z4 ]3 [z4 + x 4 ]3
+ 6 6 + 6
≥ 12
x6 + y 6
y +z
z + x6 MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 9 10 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Lời giải : Đặt =
x a;y
= b;z
= c ⇒ abc = 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :
2 2 2 [a2 + b2 ]3 [b2 + c2 ]3 [c2 + a2 ]3
+ 3 3 + 3 3 ≥ 12
a3 + b3
b +c
c +a
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có : [ ] [ ] [ [a2 + b2 ]3 = a6 + a 4 b2 + a 4 b2 + a 4 b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 4 a6 b6 a3 + b3 ] 27. [Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ] . Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :
1
1
1
3[a + b + c]
+
+
≥
a + b b + c c + a 2[a2 + b2 + c2 ]
HD :
[a2 + b2 ] + [b2 + c2 ] + [c2 + a2 ] 1
1
1 3[a + b + c]
BĐT ⇔
+
+
≥
2
2
a + b b + c c + a [a + b]2
2
28. [ Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ] . Cho x,y,z > 0 : x + y + z =
9 . Chứng minh rằng :
Và chú ý : a2 + b2 ≥ x 3 + y 3 y 3 + z3 z 3 + x 3
≥9
+
+
xy + 9 yz + 9 zx + 9
29. [ Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ] . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh
272
rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤
27
HD : Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm .
a3 b3 c3
30. [Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ] . Cho a,b,c >0 . CMR :
+ +
≥a+b+c
bc ca ab
a 4 [a2 + b2 + c2 ]2 [a + b + c]4
HD : VT = ∑
≥
≥
≥a+b+c
abc
3abc
27abc
31. [ Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010] . Cho x,y,z >0 thỏa mãn : 2 xy + xz =
1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của : S = 3yz 4zx 5xy
+
+
x
y
z 32. [ Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ]. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện :
Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = xyz 1
2
3
1.
+
+
=
1+ x 2+ y 3+z 33. [ Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ] . Cho a,b, c > 0 :a2 + b2 + c2 =
3 . Chứng minh bất đẳng thức : 1 + 1 + 1 ≤1
4 − ab 4 − bc 4 − ca
34. [ Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ] . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x 2 y y 2 z z2 x
13xyz
P
=
+ 3 + 3 +
z3
x
y
3[xy 2 + yz2 + zx2 ]
Lời giải 1 :
a b c
13
x
y
z
Đặt : =
a; =
b; =
c ⇒ abc =
1 . Lúc đó : P = 2 + 2 + 2 +
y
z
x
+
3
[a
b + c]
b c a
Ta có : [a + b +=
c] abc[a + b +=
c] [ab][ac] + [ab][bc] + [ac][bc] ≤ 1
1 a
a + b2 ≥ 2 b
1
a b c 1 1 1
1 b
Lại có : + 2 ≥ 2 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + = ab + bc + ca
c
a b c
b c a
b c
1 c
1
+ 2 ≥2
c
c a
13
Do đó : P ≥ [ab + bc + ca] +
[ Với ab + bc + ca ≥ 1 ]
[ab + bc + ca]2 [ab + bc + ca]2
3 MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr. 10 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan