VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. Nguyên tắc cơ bản trong giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là phải tìm cách làm mất dấu căn. Có các phương pháp thường dùng như: bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, đưa phương trình về dạng tích. Phương pháp 1. Bình phương hai vế. Thiết lập điều kiện rồi sau đó bình phương hai vế. Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ. Nhiều phương trình, việc bình phương không thể làm mất hết căn hoặc lại đưa về những phương trình bậc cao hơn hai. Những câu như vậy ta không nên bình phương hai vế mà nên sử dụng phương pháp khác. Sau đây là một số dạng hay gặp trong đặt ẩn phụ. Phương pháp 3. Đưa về dạng tích. Nếu phương trình đưa được về tích ta có thể chuyển về các phương trình dễ giải hơn. Chúng ta có thể thực hiện theo một trong những hướng sau: Ghép nhóm tạo ra nhân tử chung. Biến đổi liên hợp. Khi nhẩm được nghiệm thì thêm bớt hệ số để liện hợp tạo ra nhân tử chung.
BÀI TẬP DẠNG 2. Phương pháp 1. Bình phương hai vế. Ví dụ 1. Giải phương trình 2x − 1 = √x. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 4. Ví dụ 3. Giải phương trình √x + 3 + √2x − 1 = 3. Lời giải. Phân tích: 2 vế không âm nên ta có thể bình phương được, bình phương sẽ mất dần số lượng căn đi. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Ví dụ 9. Giải phương trình √x − 2 + x2 − 3x − 1 = 0. Phân tích: Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = 3 và nếu tại x = 3 thì √x − 2 là 1 nên nếu ta trừ nó cho 1 thì sẽ tạo được nhân tử x − 3. Phương trình [2] với điều kiện x ≥ 2 thì phương trình [2] có VT > 0 nên [2] vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.
Để giải phương trình chứa căn [phương trình vô tỉ] thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những cách hiệu quả để đưa một phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn phức tạp về các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn cơ bản.
Các phương pháp giải PT, BPT chứa căn khác là:
1. Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình bằng đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ [còn gọi là đổi biến] giải phương trình, bất phương trình vô tỉ gồm có 4 dạng:
- Đưa về phương trình một ẩn.
- Đưa về phương trình đẳng cấp [phương trình thuần nhất].
- Đưa về phương trình tích [phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn].
- Đưa về hệ phương trình.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình một ẩn mới
Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+9}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}=7$$ Hướng dẫn. Đặt $t=\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+2}$, điều kiện $t \ge 0$ ta thu được phương trình \[\begin{array}{*{20}{l}} {}&{\sqrt {{t^2} + 7} + t = 7}\\ \Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l} 7 – t \ge 0\\ {t^2} + 7 = {[7 – t]^2} \end{array} \right.}\\ \Leftrightarrow &{\left\{ \begin{array}{l} t \le 7\\ {t^2} + 7 = 49 – 14t + {t^2} \end{array} \right.}\\ \Leftrightarrow &{t = 3}
\end{array}\] Với $ t=3, $ ta có phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 2x + 2} = 3\]Bình phương hai vế phương trình này, tìm được nghiệm $ x=\frac{{1 \pm\sqrt {22} }}{3}.$
Ví dụ 2. Giải bất phương trình $$\left[ x+1 \right]\left[ x+4 \right]