Các bài tập chứng minh bất đẳng thức
Tuyển chọn một số bài toán bất đẳng thức hay và khóChia sẻ một số bài toán bất đẳng thức hay và khó có lời giải chi tiết dễ hiểu, giúp các em học sinh nâng cao khả năng làm dạng toán này.Nội dung cơ bản gồm: Show
Lựa chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích các hướng tiếp cận bài toán và các lời giải độc đáo. Tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức từ các đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS, THPT và một số bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10 chuyên toán trong một số năm trở lại đây . Giới thiệu các bài tập tổng hợp để các em học sinh có thể tự rèn luyện. Tin tức - Tags: bất đẳng thức, bđt
Tài liệu gồm 174 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức – bất phương trình, giúp học sinh lớp 10 tham khảo khi học chương trình Đại số 10 chương 4 (Toán 10). BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC. Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất. + Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. + Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất. + Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi. + Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. + Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa. + Loại 4: Kĩ thuật Côsi ngược dấu. Dạng 3: Đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức. Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ. Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu 400 bài toán Bất đẳng thức, cực trị với lời giải chi tiết. Bất đẳng thức là một trong những vấn đề hay và khó nhất của chương trình toán phổ thông bởi nó có mặt trên hầu khắp các lĩnh vực của toán học và nó đòi hòi chúng ta phải có một vốn kiến thức tương đối vững vàng trên tất cả các lĩnh vực. Mỗi người chúng ta, đặc biệt là các bạn yêu toán, dù ít dù nhiều thì cũng đã từng đau đầu trước một bất đẳng thức khó và cũng đã từng có được một cảm giác tự hào phấn khích mà mình chứng minh được bất đẳng thức đó. Nhằm “kích hoạt” niềm say mê bất đẳng thức trong các bạn, chúng tôi biên soạn tài liệu 400 bài toán Bất đẳng thức, cực trị với lời giải chi tiết. Kèm theo mỗi bài toán là lời giải được trình bày chi tiết, rõ ràng và dễ hiểu, giúp các bạn học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức. Hy vọng các bạn học được nhiều điều bổ ích từ tài liệu này. Like fanpage của https://thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt.  Xem thêm - Các dạng bài tập phương trình mũ và phương trình logarit - Toàn bộ công thức toán 12 ôn thi THPT Quốc gia THEO THUVIENTOAN.NET
Với Cách chứng minh bất đẳng thức hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8. Dạng 1: Sử dụng biến đổi tương đương A. Phương pháp giải Một số kĩ thuật cơ bản: + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức + Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức + Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức + Kỹ thuật đặt biến phụ + Kỹ thuật sắp thứ tự các biến. + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến B. Ví dụ minh họa Câu 1: Cho a và b là hai số bất kỳ chứng minh rằng
Lời giải: Câu 2: Lời giải: Áp dụng: Ta viết bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên. Câu 3: Chứng minh rằng với ba số a,b,c tùy ý ta luôn có: Lời giải: Xét hiệu: C. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: Câu 2: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: Câu 3: Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: Câu 4: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥1. Chứng minh rằng: Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Câu 6: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 . Chứng minh rằng Câu 7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có: Dạng 2: Sử dụng phương pháp phản chứng A. Phương pháp giải + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng + Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau + Phủ định rồi suy ra kết luận *Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ: B. Ví dụ minh họa Câu 1: Chứng minh rằng: Lời giải: Điều này là vô lý với mọi a và b Vậy điều giả sử là sai →điều phải chứng minh. Câu 2: Cho ba số a, b, c ∈ (0;1) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: Lời giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng. Theo giả thiết a, b, c, 1-a, 1-b, 1-c đều là số dương suy ra Mặt khác: Câu 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương. Lời giải: Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất tổng quát ta chọn số đó là a, tức là a≤0. Vì abc>0 nên a≠0, do đó suy ra a<0. C. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là đúng: Câu 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Câu 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng: Câu 4: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b=2. Chứng minh rằng: Câu 5: Cho các số thực a, b, c ∈ (0;2). Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là sai: Câu 6: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các số 9ab, 9bc, 9ac nhỏ hơn Câu 7: Cho 25 số tự nhiên Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối A. Phương pháp giải Ta có các tính chất sau : Tính chất 1: Với hai số thực a, b tùy ý: Tính chất 2: Ta có: Tính chất 3: Ta có: Tính chất 4: Ta có: *Với phương trình ta sử dụng các tính chất: Tính chất 1: Nếu: Tính chất 2: Nếu: Tính chất 3: Nếu: Tính chất 4: Nếu: B. Ví dụ minh họa Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có: Lời giải: Ta có: Câu 2: Giải phương trình: Lời giải: Ta biến đổi phương trình về dạng: Vậy, phương trình có nghiệm là x≥1. Câu 3: Cho số thực x thỏa mãn Chứng minh rằng x≥2 Lời giải: Ta có: Câu 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b) Tìm tất cả các giá trị của x để đạt được giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Dễ thấy khi x = 1 thì A = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2 b) Theo nhận xét trên, dấu "=" ở bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi Ta có bảng xét dấu: Dựa vào bảng ta có C. Bài tập tự luyện Câu 1: Chứng minh rằng
Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất: Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có: Câu 4: a) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có |a ± b| ≥ |a| - |b|. Câu 5: Chứng minh rằng:
b. Với hai số a, b tuỳ ý, ta có
Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki A. Phương pháp giải a) Bất đẳng thức Cô – si Cho hai số không âm a, b, ta luôn có: , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. Mở rộng: a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. b. Với n số Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi Mở rộng: Với các số thực a1, a2, b1, b2, a3, b3, ta luôn có: Dấu đẳng thức xảy ra khi B. Ví dụ minh họa Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng: Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được: Dấu bằng xảy ra khi: Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: Giải. Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi: Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có: Lời giải: Ta có: Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến: C. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng: Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng: Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: Câu 4: Cho Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có: Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác: Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
