Các công thức tính bán kính mặt cầu
Phương pháp chung:
Dạng 1: Hình chóp đều.
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$. Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho. => Hướng dẫn giải Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: $r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a. Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a \sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $. Bài tập áp dụng Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên. => Hướng dẫn giải Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Giải: Giao tuyến của (SAB) với (ABCD) là AB. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$. Bài tập áp dụng: Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. => Hướng dẫn giải Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp (ABCD)$. $AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$ Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$ Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$. Trần Lê Quyền Giải. Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 0 .ABC, nên với A 0 A⊥(ABC) ta có thể áp dụng R = r A 0 A 2 4 + R 2 d = s a 2 + 2a √ 3 2 = a √ 21 3 . Diện tích mặt cầu là 4πR 2 = 28πa 2 3 . Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Giải. Ta có AO⊥(OBC) nên có có thể áp dụng (1), R = r OA 2 4 + R 2 d = 1 2 p OA 2 + OB 2 + OC 2 . Công thức này cho phép xây dựng một số bài toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông. Chẳng hạn BT 1. Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA, OB, OC đôi một vuông góc và 2OA +OB +OC = 3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC là A. √ 6 4 B. √ 2 2 C. 3 √ 3 8 D. 3 4 BT 2. Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1; các điểm AB, thay đổi trên OxOy, sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. A. √ 6 3 B. √ 6 C. √ 6 4 D. √ 6 2 Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a √ 3 . Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, ta có SH⊥(ABC). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD bằng AH = a √ 3 . Trong khi ta có DH = 2AH, thế nên H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Vậy có thể áp dụng (1), R = r SH 2 4 + R 2 d = a √ 21 6 . Như vậy, có thể ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng của (1), đó là khi hình chiếu của đỉnh S 2 0122 667 8435 |