1. Định nghĩa
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
2. Phương trình lôgarit cơ bản
• loga x = b ⇔ x = ab [0 < a ≠ 1].
• loga f[x] = loga g[x]
3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
* Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình [nếu có].
* Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.
* Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.
* Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1: Tính các giá trị sau:
Lời giải
Ví dụ 2:
Lời giải
Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải
Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}.
Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
Phương trình loga[f[x]]=logb[g[x]] [với a>0;a≠1]
Ta đặt loga[f[x]]=logb[g[x]]=t
Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a] log3[x+1]=log2x.
b] log5x=log7[x+2].
Lời giải
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Giải phương trình: f[logag[x]] = 0 [0 < a ≠ 1].
• Bước 1: Đặt t = logag[x] [*].
• Bước 2: Tìm điều kiện của t [nếu có].
READ Sơ đồ Tư Duy Và Phân Tích Hình Tượng Người Lái đò Sông Đà đầy đủ Nhất
• Bước 3: Đưa về giải phương trình f[t] = 0 đã biết cách giải.
•Bước 4: Thay vào [*] để tìm x.
Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi
1] logaf2[x] = 2loga|f[x]|
2] logaf2k[x] = 2kloga|f[x]|
3] logaf2k+1[x] = [2k+1]logaf[x]
4] loga[f[x]g[x]] = loga|f[x]| + loga|g[x]|
Ví dụ 3:Giải phương trình
Lời giải:
Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
Giả sử phương trình có dạng f[x] = g[x] [*]
• Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình [thông thường chọn nghiệm lân cận 0].
• Bước 2: Xét các hàm số y = f[x][C1] và y = g[x][C2]. Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó [C1] và [C2] giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình [*].
Hoặc đưa phương trình về dạng f[x] = 0
• Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình [thường chọn nghiệm lân cận 0].
• Bước 2: Xét các hàm số y = f[x]. Ta cần chứng minh f'[x] = 0 có nghiệm duy nhất và f'[x] đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f[x] = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.
Hoặc:
• Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f[u] = f[v] .
• Bước 2: Chứng minh hàm f[x]là hàm đơn điệu, suy ra u = v
Ví dụ 1: Giải phương trình log3 [x+2] + log7 [3x+4] = 2
READ Cách tạo file ZIP trên Mac
Lời giải
Phương trình có một nghiệm x = 1
f[x] = log3[x+2] + log7[3x+4] ⇒ f'[x] > 0, nên f[x] đồng biến trên tập xác định ;g[x]=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình log2 [x2-x-6]+x=log2 [x+2]+4
Lời giải
Phương trình [2]có một nghiệm x = 4
f[x] = log2[x-3], đồng biến trên tập xác định; g[x] = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.
Ví dụ 3:
Giải phương trình
Lời giải
⇔ log2 [x2-x+1]-log2 [2x2-4x+3] = x2-3x+2 ⇔ log2 [x2-x+1] + [x2-x+1] = log2 [2x2-4x+3]+[2x2-4x+3] [3]
Xét hàm số f[t] = log2 t+t có f'[t] > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f[x2-x+1] = f[2x2-4x+3] ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0
Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}
Dạng 5: Cách giải phương trình logarit chứa tham số
♦ Dạng toán Tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước:
• Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f[x]=A[m].
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f[x] trên D.
• Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A[m] để đường thẳng y=A[m] nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f[x].
• Bước 4. Kết luận các giá trị của A[m] để phương trình f[x]=A[m] có nghiệm [hoặc có k nghiệm] trên D.
♦ Lưu ý
• Nếu hàm số y=f[x] có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A[m] cần tìm là những m thỏa mãn:
READ Soạn Văn 8: Tóm Tắt Văn Bản Trong Lòng Mẹ đầy đủ Và Hay Nhất
• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y=A[m] nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f[x] tại k điểm phân biệt.
Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với lưu ý sau.
♦ Nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn
Hoặc sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai:
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 có nghiệm.
Lời giải
Tập xác định D=[0;+∞].
Đặt log3x=t. Khi đó phương trình trở thành t2+t+m=0 [*]
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình [*] có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.
Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình log2[5x-1]log4[2.5x-2]=m có nghiệm thực x ≥ 1.
Lời giải
Điều kiện: 5x-1 > 0 ⇔ x > 0
log2[5x-1]log4[2.5x-2]=m
⇔ log2[5x-1] 1/2 log2[2[5x-1]]=m
⇔ log2[5x-1][1+log2[5x-1]]=2m
⇔ log22 [5x-1]+log2[5x-1]=2m
Đặt log2[5x-1] = t. Khi đó phương trình đã cho trở thành t2+ t- 2m = 0 [*]
Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình [*]có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm thực x ≥ 1 thì m ≥ 3.