Cách chứng minh 3 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm

Tìm hiểu nội dung bài toán

Dự đoán điểm cố định

Tìm tòi hư­ớng giải

Trình bày lời giải

Tìm hiểu bài toán:

• Yếu tố cố định [điểm, đư­ờng]
• Yếu tố chuyển động [điểm, đư­ờng]
• Yếu tố không đổi [độ dài đoạn, độ lớn góc]
• Quan hệ không đổi [Song song, vuông góc, thẳng hàng]

Khâu tìm hiểu nội dung bài toán là rất quan trọng. Nó định hư­ớng cho các thao tác tiếp theo. Trong khâu này đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt. Tuỳ thuộc vào khả năng của từng đối tư­ợng học sinh mà giáo viên có thể đ­ưa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìmhiểu tốt nội dung bài toán. Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đó.

Dự đoán điểm cố định:

Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định. Thông th­ường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác nh­ư tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng để dự đoán điểm cố định.

Tìm tòi h­ướng giải

Từ việc dự đoán điểm cố định tìm mối quan hệ giữa điểm đó với các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi. Thông thư­ờng để chứng tỏ một điểm là cố định ta chỉ ra điểm đó thuộc hai đ­ường cố định, thuộc một đường cố định và thoả mãn một điều kiện [thuộc một tia và cách gốc một đoạn không đổi, thuộc một đ­ường tròn và là mút của một cung không đổi ] thông thư­ờng lời giải của một bài toán th­ường đư­ợc cắt bỏ những suy nghĩ bên trong nó chính vì vậy ta thư­ờng có cảm giác lời giải có cái gì đó thiếu tự nhiên, không có tính thuyết phục chính vì vậy khi trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị về việc rèn luyện tư­ duy cho học sinh.

MỘT VÀI VÍ DỤ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH:

Bài 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho \[\frac{CE}{CB}=\frac{CA}{CD}=\sqrt{3}\]. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C. Chứng minh rằng: Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định C di chuyển trên đoạn thẳng AB.

Tìm hiểu để bài:

* Yếu tố cố định: đoạn AB

* Yếu tố không đổi:

+ Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 do đó sđ cung BC, CA không đổi

+ B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng

Dự đoán điểm cố định:

Khi C trùng B thì [d] tạo với BA một góc 600\[\Rightarrow \] điểm có định thuộc tia By tạo với tia BA một góc 600.

Khi C trùng A thì [d] tạo cới AB một góc 300 \[\Rightarrow \] điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB một góc 300.

By và Az tạo cắt nhau tại M thì M là điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định dưới 900 \[\Rightarrow \] M thuộc đường tròn đường kính AB.

Tìm hướng chứng minh:

M thuộc đường tròn đường kính AB cố định do đó cần chứng minh sđ cung AM không đổi, thật vậy:

Sđ cung \[\overset\frown{AM}=2\widehat{MCA}=2\widehat{CHA}=2\widehat{CDA}={{120}^{0}}\]

Lời giải:

Ta có \[_{tg}D=\frac{CA}{CD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{D}={{60}^{0}}\].

Có \[\widehat{CHA}=\widehat{CDA}={{60}^{0}}\]

Giả sử: đường tròn đường kính AB cắt AH tại M, ta có \[\widehat{MHA}={{60}^{0}}\Rightarrow \]sđ cung MA không đổi. Lại có đường tròn đường kính AB cố định.

Vậy: M cố định, do đó CH luôn qua M cố định.

Bài 2: Cho đường tròn [O] và đường thẳng [d] nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên [d]. Đường tròn đường kính OI cắt [O] tại M, N. Chứng minh đường tròn đường kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn:

Giải:

Kẻ OH vuông góc với [d] cắt MN tại E.

Ta có H cố định và H thuộc đường tròn đường kính OI. Vậy đường tròn đường kính OI luôn đi qua K cố định.

Xét \[\Delta OEF\] và \[\Delta OIH\] có góc O chung, \[\widehat{OFE}=\widehat{OHI}={{90}^{0}}\].

Nên đồng dạng với \[\Delta OIH\], do đó: \[\frac{OF}{OE}=\frac{OH}{OI}\Rightarrow OE.OH=OF.OI\]

Lại có \[\widehat{IMO}={{90}^{0}}\] [ nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OI]

Xét \[\Delta OMI\]vuông tại M có đường cao ứng với cạnh huyền MF nên: \[OF.OE=O{{M}^{2}}\]

Do đó: \[OE=\frac{O{{M}^{2}}}{OH}\]= hằng số.

Vậy E cố định, do đó MN đi qua E cố định

Bài 3: Cho đường tròn [O; R] và dây AB cố định. C là một điểm chuyển động trênn đường tròn và M là trung điểm AC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

Vẽ đường kính BD \[\Rightarrow \] D cố định.

Giả sử, đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt AD tại I.

Dễ thấy góc BCD = 900 hay MI // CD.

Xét tam giác ACD có

MC = MA; MI // CD \[\Rightarrow \] I là trung điểm của DA cố định hay đường thẳng qua M vuông góc với BC đi qua I cố định.

Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA, CA sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn:

Khi \[M\equiv B\] thì \[N\equiv C\] khi đó đường trung trực của MN là trung trực của BC. Vậy điểm cố định nằm trên đường trung trực của BC.

Giải:

Giả sử trung trực của BC cắt trung trực MN tại I.

Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC [c-c-c] vậy góc MBI = góc NCI.

Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI, vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuốc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà trung trực của BC cố định. Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định.

Bài 5: Cho đường tròn [O; R] và dây cung \[AB=R\sqrt{3}\]. Điểm P khác A và B. Gọi [C; R1] là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn [O; R] tại A. Gọi [D; R2] là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn [O; R] tại B. Các đường tròn [C; R1] và [D; R2] cắt nhau tại M khác P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định.

Tìm hiểu đề bài:

* Yếu tố cố định: [O; R], dây AB

* Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình hành. Sđ cung BP của [D], sđ cung AP của [C], góc BMA không đổi.

Dự đoán:

Khi \[P\equiv A\] thì PM là tiếp tuyến của [O; R] \[\Rightarrow \] điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của [O; R] tại A.

Khi \[P\equiv B\] thì PM là tiếp tuyến của [O; R] \[\Rightarrow \] điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của [O; R] tại B.

Do tính chất đối xứng của hình \[\Rightarrow \] điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với AB

\[\Rightarrow \]điểm cố định nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Lời giải:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I, vì \[AB=R\sqrt{3}\Rightarrow \] sđ cung AB của [O] bằng 1200,

* tam giác BDP cân do góc OBA = góc DPB

* Tam giác OAB cân do góc OBA = góc OAB \[\Rightarrow \] góc BDP = góc BOA \[\Rightarrow \]sđ cung BP của [D] = sđ cung BA của [O] = 1200.

Tương tự, sđ cung PA của cung [C] = 1200.

Ta có \[\widehat{BMP}=\frac{1}{2}\overset\frown{BP}\] của [D] = 600

Ta có \[\widehat{AMP}=\frac{1}{2}\overset\frown{AP}\] của [C] = 600

Vậy \[\widehat{BMA}=\widehat{BMP}+\widehat{AMP}={{120}^{0}}=\widehat{BOA}\]

Xét tứ giác BMOA, có góc BMA = góc BOA, do đó tứ giác BMOA nội tiêos hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOA.

Vậy \[\frac{1}{2}\overset\frown{IA}=\widehat{IMA}=\widehat{PMA}=\frac{1}{2}\overset\frown{PA}\] của [ C] = 1200. Vậy I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và sđ cung \[IA={{120}^{0}}\Rightarrow \] I cố định hay MP đi qua I cố định.

Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trê AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông MADE và MBHG. Hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt nhau tại N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB.

Hướng dẫn:

Tương tự bài 1.

Giải:

Giả sử MN cắt đường tròn đường kính AB tại I.

Ta có góc ANM = góc ADM = 450

[ góc nội tiếp cùng chắn cung AM của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MADE]

Ta có góc BNM = góc BGM = 450 [ góc nội tiếp cùng chắn cung BM của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH].

\[\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{ANM}+\widehat{BNM}={{90}^{0}}\Rightarrow \] N thuộc đường tròn đường kính AB. Vậy sđ \[\overset\frown{AI}=2\widehat{ANI}=2\widehat{ANM}={{90}^{0}}\]

Vậy I thuộc đường tròn đường kính AB và số đo \[\overset\frown{AI}={{90}^{0}}\Rightarrow \] I cố định hay MN đi qua I cố định.

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng [d] quay quany O cắt AD, BC thứ tự tại E, F. Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD, CA chúng cắt nhau tại I. Qua I vẽ đường thẳng [m] vuông góc với EF. CM: [m] luôn đi qua một điểm cố định khi [d] quay quanh O.

Hướng dẫn:

Khi \[E\equiv A\] thì HI qua A và vuông góc với AC.

Khi \[E\equiv D\] thì HI qua B và vuông góc với BD.

Do tính chất đối xứng của hình vẽ nên điểm cố định nằm trên đường trung trực của AB.

Dự đoán : điểm cố định K nằm trên đường tròn đường kính AB.

Giải:

Dễ thấy I thuộc AB, có:\[\widehat{IHE}+\widehat{IAE}={{180}^{0}}\] nên tứ giác IHEA nội tiếp.

\[\Rightarrow \widehat{IHA}=\widehat{IEA}={{45}^{0}}\]

Có \[\widehat{IHF}+\widehat{IBF}={{180}^{0}}\] nên tứ giác IHFB nội tiếp.

\[\Rightarrow \widehat{BHI}=\widehat{BFI}={{45}^{0}}\]

Vẽ đường tròn đường kính AB, Ta có \[\widehat{BHA}=\widehat{IHA}+\widehat{BHI}={{90}^{0}}\] nên H thuộc đường tròn đường kính AB.

Giả sử: HI cắt đường tròn đường kính AB tại K ta có:

Sđ cung \[KA=2\overset\frown{KHA}=2\overset\frown{IHA}={{90}^{0}}\]

Do K thuộc đường tròn đường kính AB và sđ cung \[KH={{90}^{0}}\] nên K cố định hay HI đi qua K cố định.

Bài 8: Cho góc xOy. Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động sao cho OA + OA = a [ a là độ dài cho trước]. Gọi G là trọng tâm tam giác OAB và [d] là đường thẳng qua G vuông góc với AB. Chứng minh [d] luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý:

Khi \[B\equiv D\] thì [d] là đường thẳng vuông góc với OD và O cách [d] một khoảng \[\frac{1}{3}a\].

Khi \[OB=OA=\frac{1}{2}a\] thì [d] là phân giác của góc xOy.

Do tính chất đối xứng dự đoán điểm cố định thuộc tia phân giác của góc xOy.

Giải:

Trên Ox, Oy thứ tự lấy 2 điểm C, D sao cho OC = OD = a.

Phân giác của góc xOy cắt CD tại N , cắt [d] tại I. Dễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD, do đó NF vuông góc với AB.

Xét \[\Delta ONF\] có GI // NF \[\Rightarrow \frac{OG}{OF}=\frac{OI}{ON}=\frac{2}{3}\Rightarrow OI=\frac{2}{3}ON=\frac{1}{3}a\]= hằng số.

Vậy I cố định hay [d] đi qua điểm cố định I.

Bài 9: Cho góc vuông xOy. Trên Ox lấy điểm A cố đinh. Trên Oy lấy điểm B đi động. Đường tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc AB, OB thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý:

Tam giác BNM cân dó đó khi \[B\equiv O\] thì góc \[B\to {{90}^{0}}\] nên \[\widehat{MNB}\to {{45}^{0}}\] do đó điểm cố định nằm trên phân giác của góc xOy.

Khi \[B\to \] vô cùng xa thì bán kính của [I]\[\to \]\[\frac{1}{2}OA\] khi đó MN là đường thẳng song song song với Ox và cách Ox một khoảng \[\frac{1}{2}OA\].

Giải:

Giả sử tia phân giác Om của góc xOy cắt MN tại F.

Ta có tam giác BMN cân do đó:

\[\angle ONM={{90}^{0}}+\frac{1}{2}\angle B\]

Lại có, \[\angle AIO={{90}^{0}}+\frac{1}{2}\angle B\]

Vậy \[\angle ONM=\angle AIO\]

Dễ thấy tam giác AIO và tam giác FNO đồng dạng.

Vậy \[\frac{OF}{OA}=\frac{ON}{OI}=\cos \angle ION=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow OF=\frac{OA}{\sqrt{2}}\]= hằng dố

Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định.

Bài 10: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng ấy. Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB. Trên Mx lấy hai điểm C, D sao cho MC = MA; MD = MB. Đường tròn tâm O[1] qua 3 điểm A, M, C và đường tròn tâm O[2] qua 3 điểm B. M, D cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng đường trẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB.

[ tương tự bài 6]

Bài viết gợi ý: