Cho hàm số f(x) = (x-1)(x 2 x 2020 có bao nhiêu giá trị nguyên của m)

Ta có g[x] = f[3 - x] nên g'[x] = -f'[3 - x]

• g'[x] = 0 ⇔ f'[3 - x] = 0

• g'[x] không xác định khi 3 - x = 1 hay x = 2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số g[x] = f[3 - x] có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Đồ thị hàm số u[ x] = f[x - 2017] + 2018 có được từ đồ thị f[x] bằng cách tịnh tiến đồ thị f[x] sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của u[x]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g[x] = |u[x]| có 3 điểm cực trị [tại x = 0, x = 2016, x = 2020].

Suy ra chọn đáp án B.

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số |f[x]| bằng A + B với:

• A là số điểm cực trị của hàm f[x].

• B là số giao điểm của f[x] với trục hoành [không tính các điểm trùng với A ở trên]

Áp dụng: Vì hàm f[x] đã cho có 2 điểm cực trị nên f[x] + m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f[x] + m với trục hoành là 1.

Để số giao điểm của đồ thị f[x] + m với trục hoành là 1, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f[x] xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị nên m ≤ -1

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f[x] lên trên tối thiểu 3 đơn vị nên m ≥ 3

Vậy m ≤ -1 hoặc m ≥ 3

Suy ra chọn đáp án A.

Vì hàm số f[x] đã cho có 2 điểm cực trị nên f[x] - 2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f[x] - 2m với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f[x] – 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f[x] xuống dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị nên:

Suy ra chọn đáp án C.

* Vẽ đồ thị hàm số f[x] = x3 – 3x2 – 9x - 5 như hình bên dưới

* Ta thấy hàm số f[x] có 2 điểm cực trị nên f[x] + m/2 cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f[x] + m/2 với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f[x] + m/2 với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f[x] lên trên nhưng phải nhỏ hơn 32 đơn vị nên:

0 < m/2 < 32 ⇔ 0 < m < 64 -m ∈ Z→ m ∈ {1; 2; 3;...; 63}

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn là:

1 + 2 + 3 + ... + 63 = [[1 + 63].63]/2 = 2016

Suy ra chọn đáp án D.

+ Vì hàm số f[x] đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f[x] - m cũng luôn có 3 điểm cực trị.

+ Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f[x] – m với trục hoành là 2.

+ Để số giao điểm của đồ thị f[x]- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f[x] xuống dưới ít nhất 2 đơn vị [bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần]

⇒ -m ≤ -2 ⇒ m > 2

Suy ra chọn đáp án C.

* Vì hàm số f[x] đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f[x + 2018] + m cũng luôn có 3 điểm cực trị [do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị].

* Do đó yêu cầu bài toán tìm trở thành: Tìm các giá trị của m để số giao điểm của đồ thị f[x + 2018] + m với trục hoành là 4.

Để số giao điểm của đồ thị f[x + 2018] + m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời:

• Tịnh tiến đồ thị f[x] xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị nên m > -2

• Tịnh tiến đồ thị f[x] lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị nên m < 3

Vậy -2 < m < 3 -m ∈ Z+→ m ∈ {1;2}

Suy ra chọn đáp án A.

Vì hàm số f[x] đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f[x + 2018] + m2 cũng luôn có 3 điểm cực trị [do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị].

Ta đi tìm các giá trị nguyên dương của tham số m để số giao điểm của đồ thị f[x + 2018] + m2 với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị f[x + 2018] + m2 với trục hoành là 2, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f[x] xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ⇒ m2 ≤ -2: vô lý

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f[x] lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 2 ≤ m2 < 6

Suy ra chọn đáp án B.

Vì hàm số f[x] đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f[x - 1] + m cũng luôn có 3 điểm cực trị [do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị].

Do đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của m để số giao điểm của đồ thị hàm số f[x - 1] + m với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị hàm số f[x - 1] + m với trục hoành là 2, ta cần:

• Tịnh tiến đồ thị f[x] xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị

• Hoặc tịnh tiến đồ thị hàm số f[x] lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 3 ≤ m < 6

Vậy

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: y' = m[3x2 – 6x]

Với mọi m ≠ 0, ta có:

Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử A[0, 3m - 3], B[ 2; -m - 3] .

Suy ra: OA2 = [3m - 3]2, OB2 = 4 + [-m - 3]2 = m2 + 6m + 13 và AB2 = 4 + 16m2

Ta có: 2AB2 – [OA2 + OB2] = 20

⇔ 2.[4 + 16m2] – [[3m - 3]2 + m2 + 6m + 13] = 20

⇔ 8 + 32m2 – [10m2 - 12m + 22] - 20 = 0

⇔ 22m2 + 12m - 34 = 0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là:

Suy ra chọn đáp án D.

* Nhận xét: Hàm số g[x]= f[|x| + m] là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .

Suy ra: x = 0 là một điểm cực trị của hàm số.

* Ta có

Do đó g'[x] = 0 ⇔ f'[|x| + m] = 0

Để hàm số g[x] có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi [*] có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có: g[x] = f2[x] + f[x] + m nên g'[x]= f'[x].[2f[x] + 1]

Ta tính được

Bảng biến thiên của hàm số g[x]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g[x] có 3 điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số h[x] = |f2[x] + f[x] + m|

có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g[x] nằm hoàn toàn phía trên trục Ox [kể cả tiếp xúc] nên m ≥ 1/4

Suy ra chọn đáp án B.

Từ giả thiết suy ra

Ta có g[x] = f[x2 – 2x] nên g'[x] = 2[x - 1].f'[x2 - 2x]

Vì g'[x] = 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g[x] có 3 điểm cực trị [là x = 0, x = 1, x = 2].

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có f'[x]= 3x2 – 2[2m - 1]x + 2 - m

Hàm số g[x] = f[|x|] có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f[x] có hai cực trị dương

Suy ra phương trình f’[x] = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

Suy ra chọn đáp án C.

Để hàm số g[x] = f[|x|] có 5 điểm cực trị thì phương trình f[x] = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

f[x] = 0 ⇔ [x - 1][mx2 - 2mx + m - 2] = 0

Do đó để phương trình f[x] = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi [1] có hai nghiệm phân biệt khác 1:

⇔ m > 0 -m ∈ Z; m ∈ [-10;10]→ m ∈ {1; 2; 3;...; 10}

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có: g[x]= |ax2.|x| + bx2 + c.|x| + d| = |f[|x|]|

* Hàm số f[x] có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương khi và chỉ khi hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị [1].

* Đồ thị hàm số f[x] có điểm cực trị A[0;3] ∈ Oy và điểm cực trị B[2; -1] thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị hàm số f[x] cắt trục hoành tại 3 điểm [1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương]

Suy ra, đồ thị hàm số f[|x|] cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt [2].

*Từ [1] và [2] suy ra đồ thị hàm số g[x] = |f[|x|]| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Hàm số g[x]= f[x] - 2018 [là hàm số bậc ba] liên tục trên R.

Ta có:

Suy ra, g[x] = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f[x] - 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g[x] = |f[x] - 2018| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Hàm số f[x] = x3 + ax2 + bx + c [là hàm số bậc ba] liên tục trên R.

Ta có:

Nên hàm số f[x] = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f[x] cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g[x] = |f[x]| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Ta có:

và lim f[x] = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao cho f[p] > 0 [x → +∞]

Suy ra f[x] = 0 có ba nghiệm phân biệt c1 ∈ [0;1], c2 ∈ [1;2] và c3 ∈ [2;p] [1]

Suy ra đồ thị hàm số f[x] có hai điểm cực trị x1 ∈ [c1; c2] và x2 ∈ [c2; c3] [2]

Từ [1] và [2] suy ra đồ thị hàm số f[x] có dạng như hình bên dưới

Từ đó suy ra hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị nên hàm số |f[|x|]| có 11 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Vì hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng [x1, x2] nên suy ra a < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.

Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1 ∈ [-1;0], x2 ∈ [1;2] nên suy ra y' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 mà a < 0 nên c > 0.

Mặt khác x1 ∈ [-1;0], x2 ∈ [1;2] nên x1 + x2 > 0

Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Đặt h[x] = f[x] – 2018 = ax4 + bx2 + c - 2018

Từ giả thiết

nên đồ thị hàm số h[x] có 3 điểm cực trị [1].

Ta có:

Suy ra h[1].h[0] < 0 có nghiệm thuộc [0, 1].

Do đó, phương trình h[x] =0 có 4 nghiệm phân biệt [2] .

Từ [1] và [2] suy ra hàm số g[x] = |f[x] – 2018| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Ta có:

Suy ra

• f'[x] = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì -[m4 + 1][2m+1.m2 + 4] < 0 với mọi m.

• f[x] – 1 = 0 vô nghiệm do:

Δ' = [2m.m2 + 2]2 - [m4 + 1].[4m + 15]

= 4.2m.m2 + 4 - 15m4 - 4m - 15 = -[2m - m2]2 - 11m4 - 11 > 0

Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Xét hàm số f[x] có đạo hàm f'[x] và đạo hàm cấp hai là f''[x] = [x0 – 2].x + m2 – m + 2

Ta có f'[x0] = 0 nên x0 là điểm cực trị của hàm số. Và f''[x0] = [x0 - 2].x0 + m2 – m + 2.

⇒ f''[x0] = x02 - 2x0 + m2 - m + 2

Suy ra x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f[x] .

Suy ra chọn đáp án A.

Xét hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1, ta có y' = 3x2 - 6x - 9, ∀x ∈ R

Phương trình:

Như vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A[3; -26] và B[-1; 6].

Suy ra phương trình đường thẳng AB là: [Δ]: 8x + y + 2 = 0

Tọa độ giao điểm của [Δ] và [d1] là:

Vì [Δ], [d1], [d2] đồng quy nên M ∈ [d2] suy ra: [m + 1].1 + 10 + m2 – 2 = 0

Hay m2 + m + 9 = 0 vô nghiệm .

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Suy ra chọn đáp án D.

Ta có đao hàm: y' = 6x2 – 6[m + 1].x + 6m

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 1.

Tọa độ các điểm cực trị là A[1, m3 + 3m - 1] và B[m, 3m2].

Suy ra AB2 = [m - 1]2 + [m3 – 3m2 + 3m - 1]2 = [m - 1]2 + [m - 1]6

Theo bài ra ta có:

AB2 = 2 ⇔ [m - 1]6 + [m - 1]2 = 0 ⇔ [[m - 1]2]3 - 1 + [[m - 1]2 - 1] = 0

⇔ [[m - 1]2 - 1].[[m - 1]4 + [m - 1]2 + 2] = 0 ⇔ [m - 1]2

Suy ra chọn đáp án B.

Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + m có Δ'y' = 9 - 3m.

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: Δ'y' > 0 ⇔ m = 3.

Ta có:

Gọi x1, x2 là hoành độ của 2 điểm cực trị. Suy ra: y'[x1] = y'[x2] = 0 nên từ [*] suy ra:

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi:

Suy ra chọn đáp án A.

+ Xét hàm số y = x4 - 2x2. Ta có y' = 4x3 - 4x

+ Suy ra A[0;0], B[1; -1], C[-1; -1] là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đồng thời điểm A[0,0] là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+ Phương trình đường thẳng Δ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx hay mx - y = 0

+ Ta có:

khi đó

với

Mặt khác 2ab ≥ 0 ⇔ [a + b]2 ≥ a2 + b2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án D.

Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c ta có y' = 4ax3 = 2bx

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A[0,2] và B[1,m] nên:

Lấy [1] – 2.[2] ta được:

[2a + b]2 – 2[a + b]2 = -2[m - 2]2 hay 2a2 – b2 = -2[m - 2]2

Khi đó: P = 2a2 – b2 – 2m2 = -2[m - 2]2 – 2m2 = - 4 – 4[m - 1]2 ≤ -4

Do đó max P = -4.

Dấu “=” xảy ra khi m = 1 .

Vậy

⇒ P = a + b + c + m = 2

Suy ra chọn đáp án B.

Ta xét hai trường hợp sau đây:

* TH1: m + 1 = 0 hay m = -1.

Khi đó y = x2 + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu [x = 0] mà không có cực đại

Do đó m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1.

Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 [nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu] nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'[x], ta có các nhận xét sau:

• f'[x] đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f[x].

• f'[x] không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f[x].

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Từ đồ thị hàm số f'[x] ta thấy f'[x] cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương [và 1 điểm có hoành độ âm]

Suy ra: f[x] có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị [ gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0].

Suy ra: f[|x + m|] có 5 điểm cực trị với mọi m [vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số].

Chú ý: Đồ thị hàm số f[|x + m|] có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f[|x| + m] có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Từ đồ thị f'[x] ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f[x]

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f[x + m] có 2 điểm cực trị dương [vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f[|x| + m] có đúng 5 điểm cực trị].

Từ bảng biến thiên của f[x] suy ra f[x + m] luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f[x] [sang trái hoặc sang phải] phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 [1]

Gọi A[0;4], B[-√m; -m4 + 4], C[-√m; -m4 + 4]

SABC = 1/2.d[A;BC].BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m

+ Ta có:

và

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g[x] = f[x] – x nên:

g'[x] = f'[x] – 1 = [x + 1].[x - 1]2.[x - 2].

g' = 0 ⇔ [x + 1].[x - 1]2.[x - 2] = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = -f'[3 - x] = [[3 - x]2 - 1][4 - [3 - x]] = [2 - x][4 - x][x + 1];

g'[x] = 0 ⇔ [2 - x][4 - x][x + 1] = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g[x] đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g[x] = f[x2] nên g'[x] = 2xf'[x2] = 2x5[x2 - 1][x2 - 4]2

g'[x] = 0 ⇔ 2x5[x2 - 1][x2 - 4]2 = 0

Ta thấy x = 1, x = -1[là hai nghiệm đơn] và x = 0 [là các nghiệm bội lẻ] nên hàm số g[x] có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g[x] = f[x2] có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = 2[x - 4].f'[x2 - 8x] = 2[x - 4][[x2 - 8x]2 - 2[x2 - 8x]];

g'[x] = 0 ⇔ 2[x - 4][[x2 - 8x]2 - 2[x2 - 8x]] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g[x] có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có: g'[x] = 2f''[x].f'[x] - 2f'[x].f''[x] - 2f[x].f'''[x] = -2f[x].f'''[x];

g'[x] = 0 ⇔ f[x].f'''[x] = 0 ⇔ x[x - 1]2[x + 4]3 = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = [f'[x]]2 + f[x].f''[x] = 15x4 + 12x

g'[x] = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: f'[x] = 0 ⇔ [x + 1]4[x - 2]5[x + 3]3 = 0

Do f'[x] chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f[x] có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị [cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|].

Suy ra chọn đáp án B.

* Ta có: f'[x] = 0 khi [x - 1].[x - 2]4.[x2 - 4] = 0

* Do f'[x] đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f[x] có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị [cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|]].

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có f'[x] =0 khi và chỉ khi: x.[x + 2]4.[x2 + 4] = 0

* Do f'[x] chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f[x] có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f[|x|] có 1 điểm cực trị [cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|].

Suy ra chọn đáp án B.

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f[|x|] nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f[x] có 2 điểm cực trị dương. [*]

Xét:

Do đó [*] xảy ra khi [1] có hai nghiệm dương phân biệt :

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'[x] = 0

Để hàm số g[x] có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f[x] có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, [1] có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'[x] = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f[x] có hai điểm cực trị âm [x = -3, x = -1]. Khi đó, hàm số f[|x|] chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f[x] không có cực trị. Khi đó, hàm số f[|x|] chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f[x] có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị thì hàm số f[x] phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Xét f'[x] = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình [1] có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình [1] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Xét f'[x] = 0 ⇔ [x - 1]2[x2 - 2x] = 0

Ta có: g'[x] = 2[x - 4].f'[x2 - 8x + m];

g'[x] = 0 ⇔ 2[x - 4].f'[x2 - 8x + m] = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'[x] = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình [1], [2] đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. [*]

Xét đồ thị [C] của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 [như hình vẽ].

Khi đó [*] xảy ra khi d1, d2 cắt [C] tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có: g'[x] = f'[x] - 1; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có g'[x] = [-2x + 3].f'[x2 + 3x]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Dựa vào đồ thị ta có:

g'[x] = 2f'[x].f[x]; g'[x] = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g[x] có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta thấy f[x] đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'[x] = f'[x].f'[f[x]];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình [1] có hai nghiệm x = 0 [nghiệm kép] và x = a [a > 2]

• Phương trình [2] có một nghiệm x = b [b > a]

Vậy phương trình g'[x] = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g[x] = f[f[x]] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'[x] = f'[x][2f[x].ln2 - 3f[x].ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt [vì đồ thị hàm số y = f[x] có 3 điểm cực trị].

• f[x] ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình [2] vô nghiệm.

Vậy hàm số g[x]= 2f[x] – 3f[x] có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'[2] = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét g[x] = 2f[x] + 3 nên g'[x] = 2.f'[x]

g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g[x]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g[x] có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g[x] cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h[x] = |2f[x] – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Đồ thị hàm số g[x] = f[|x - 2|] + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f[x] như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g[x] bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f[x] là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g[x] = f[x2 + 1] nên g'[x] = 2x.f'[x2 + 1]

Vậy g'[x] = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g[x] có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.