Cho sinα 12 13 và π 2 ≤ α ≤ π Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α

Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.

Lời giải

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0o ≤ α ≤ 180o.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 142: Tính sin 25π/4, cos[-240o], tan[-405o].

Lời giải

sin 25π/4 = sin[6π + π/4] = sin π/4 = √2/2

cos[-240° ] = cos[-360° + 120°] = cos 120°= - 1/2

tan⁡[-405o ] = tan⁡[-360o - 45o] = -tan⁡45o = -1

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 143: Từ định nghĩa của sinα và cosα, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.

Lời giải

Xét điểm M thuộc đường tròn lượng giác xác định bởi số α .

Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox và Oy. Khi đó:

cosα = OH¯; sinα = OK¯

Trong lượng giác, người ta gọi trục Ox là trục cô sin và trục Oy là trục sin .

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 145: Từ ý nghĩa hình học của tanα và cotα hãy suy ra với mọi số nguyên k, tan[α + kπ] = tanα, cot[α + kπ] = cotα.

Lời giải

Trên đường tròn lượng giác,từ A[1,0] vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác.

Từ B[0,1] vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác .

Cho cung lượng giác AM có số đo α [α ≠ π/2 + kπ ]. Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó

tan[α + kπ] = tanα.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó

cot[α + kπ] = cotα.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 145: Từ định nghĩa của sinα, cosα. Hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.

Lời giải

cosα = OH¯; sinα = OK¯

Do tam giác OMK vuông tại K nên:

sin2 α + cos2 α = OK¯2 + OH¯2 = OK2 + MK2 = OM2 = 1.

Vậy sin2 α + cos2 α = 1.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 148: Tính cos[-11π/4], tan31π/6, sin[-1380o].

Lời giải

Bài 1 [trang 148 SGK Đại Số 10]: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?

Lời giải

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a] Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.

Trên trục tung xác định điểm K sao cho 

Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Khi đó với 

 thì theo định nghĩa sin α = 

b] Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.

c] Vì -√2 < -1 nên không tồn tại α để sin α = -√2.

d] Vì √5/2 > 1 nên không tồn tại α để sin α = √5/2

Kiến thức áp dụng

+ Định nghĩa sin của cung α:

Cung 

 có sđ  = α. K là hình chiếu của điểm M trên trục tung.

Khi đó ta định nghĩa 

[

 là độ dài đại số của OK và chính là tung độ của điểm M].

+ Với mọi α ∈ R thì -1 ≤ sin α ≤ 1.

Bài 2 [trang 148 SGK Đại Số 10]: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không ?

Lời giải

Kiến thức áp dụng

Bài 3 [trang 148 SGK Đại Số 10]: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

Lời giải

Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a] sin [α – π] = - sin [π – α] [Áp dụng công thức sin [- α] = - sin α]

= -sin α [Áp dụng công thức sin [π – α] = sin α]

Mà sin α > 0 nên sin [α – π] < 0.

c] tan [α + π] = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan [α + π] > 0.

Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác:

Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ 

 như trên hình vẽ.

Bài 4 [trang 148 SGK Đại Số 10]: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

Lời giải

Kiến thức áp dụng

Bài 5 [trang 148 SGK Đại Số 10]: Tính α, biết

Lời giải

a] cos α = 1 ⇔ M trùng với A hay α = k.2π, k ∈ Z.

b] cos α = -1 ⇔ M trùng với A’ hay α = π + k.2π, k ∈ Z

c] cos α = 0 ⇔ M trùng với B hoặc B’ hay α = π/2 + k.π, k ∈ Z

d] sin α = 1 ⇔ M trùng với B hay α = π/2 + k.2π, k ∈ Z

e] sin α = -1 ⇔ M trùng với B’ hay α = -π/2 + k.2π, k ∈ Z

f] sin α = 0 ⇔ M trùng với A hoặc A’ hay α = k.π, k ∈ Z

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 10 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 10 khác nhau.

Đại số lớp 10 Giá trị lượng giác của một cung chi tiết nhất. Bài viết được đăng tải trên soanbaitap.com

Câu 6.11 trang 197 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho góc lượng giác \[\left[ {Ou,Ov} \right]\] có số đo \[\dfrac{\pi }{5}\]. Hỏi trong các số đo \[\dfrac{{6\pi }}{5};\dfrac{{9\pi }}{5}; - \dfrac{{11\pi }}{5};\dfrac{{31\pi }}{5};\dfrac{{14\pi }}{5}\], những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu,...

Câu 6.13 trang 197 SBT Đại số 10 Nâng cao

Hãy tìm số đo \[{a^0}\] của góc lượng giác \[\left[ {Ou,Ov} \right],0 \le \alpha  < 360\], biết một góc lượng giác cùng tua đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:\[{395^0}; - {1052^0}; - {972^0};{\left[ {20\pi } \right]^0}\]Giải:Các...

Câu 6.18 trang 198 SBT Đại số 10 Nâng cao

Trên đường tròn lượng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các số:\[\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},\left[ {k \in Z} \right]\];\[k\dfrac{\pi }{3},\left[ {k \in Z} \right]\];\[k\dfrac{{2\pi }}{5},\left[ {k \in Z} \right]\].Giải:•.Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định...

Câu 6.19 trang 198 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm giá trị lượng giác sin, côsin, tang của các góc lượng giác có số đo sau [không dùng máy tính]• \[{120^0}; - {30^0}; - {225^0};{750^0};{510^0}\]•\[\dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{2};\dfrac{{5\pi }}{3}; - \dfrac{{10\pi }}{3};\dfrac{{17\pi }}{3}\].Giải:

Câu 6.21 trang 198 SBT Đại số 10 Nâng cao

Xác định dấu của \[\sin \alpha,\cos \alpha,\tan \alpha \], biết\[\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2};\]\[\dfrac{{3\pi }}{2} < \alpha  < \dfrac{{7\pi }}{4};\]\[\dfrac{{7\pi }}{4} < \alpha  < 2\pi ;\]\[2\pi  < \alpha  < 2,5\pi ;\]\[3\pi  < \alpha  < \dfrac{{10\pi }}{3};\]\[\dfrac{{5\pi }}{2} < \alpha ...

Câu 6.23 trang 199 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tính\[A = \cos \dfrac{\pi }{6}\sin \left[ { - \dfrac{\pi }{3}} \right] + \sin \dfrac{\pi }{6}\cos \dfrac{\pi }{3};\]\[B = \cos \left[ { - \dfrac{\pi }{4}} \right]\cos \left[ {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right] + \sin \left[ { - \dfrac{\pi }{4}} \right]\sin \left[ { -...

Câu 6.24 trang 199 SBT Đại số 10 Nâng cao

Hỏi có bao nhiêu giá trị khác nhau của \[\sin \dfrac{{k2\pi }}{5}\], khi số nguyên k thay đổi?Cũng câu hỏi đó cho \[\cos \dfrac{{k2\pi }}{5};\tan \dfrac{{k2\pi }}{5};\tan \dfrac{{k\pi }}{3}\].Giải:• Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các...

Câu 6.25 trang 199 SBT Đại số 10 Nâng cao

Dùng máy tính bỏ túi, tìm các giá trị lượng giác sau [chính xác đến hàng phần nghìn]:\[\sin {10^0};cos\dfrac{\pi }{9};\tan \dfrac{{10\pi }}{9};\cot \left[ {1,35} \right]\]Giải:\[\begin{array}{l}\sin {10^0} \approx 0,174;\\\cos \dfrac{\pi }{9} \approx 0,940;\\\tan \dfrac{{10\pi }}{9} \approx 0,364;\\cot\left[ {1,35} \right] \approx 0,224\end{array}\]

Câu 6.26 trang 199 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tính các giá trị lượng giác còn lại của \[\alpha \], biết:a] \[\cos \alpha  = \dfrac{5}{{13}}\] và \[\dfrac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi ;\]b] \[\sin \alpha  = 0,8\] và \[\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \];c] \[\tan \alpha  = \dfrac{{15}}{8}\]...

Câu 6.27 trang 199 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho \[\tan \alpha  = 3\].Tính \[\dfrac{{2\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha  - 5\cos \alpha }};\dfrac{{3\sin \alpha  - 2\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha  + 4{{\cos }^3}\alpha }}.\]Giải:• \[\dfrac{{2\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha  - 5\cos \alpha }} = \dfrac{{2\tan \alpha ...

Câu 6.28 trang 199 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:a] \[\dfrac{{{{\tan }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^6}\alpha ;\]b] \[\dfrac{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = 1 + \tan \alpha  + {\tan ^2}\alpha  + {\tan ^3}\alpha ;\]c] \[\sqrt {{{\sin...

Câu 6.29 trang 200 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho \[\tan \alpha  + \cot \alpha  = m\], hãy tính theo \[m\]a] \[{\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha ;\]b] \[\left| {\tan \alpha  - \cot \alpha } \right|;\]c] \[{\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha.\]Giải:Cho \[\tan \alpha  + \cot \alpha  = m\], ta có:a]\[\begin{array}{l}{\tan...

Câu 6.30 trang 200 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho \[\sin \alpha  + \cos \alpha  = m\], hãy tính theo ma] \[\sin \alpha \cos \alpha ;\]b] \[\left| {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right|;\]c] \[{\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha ;\]d] \[{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha \].Giải:Cho \[\sin \alpha  +...

Câu 6.31 trang 200 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh  rằng:a] \[\sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  + \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = } \dfrac{2}{{\left| {\sin \alpha } \right|}}\]b] \[\sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha...

Câu 6.3 trang 195 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo rađian:a] \[{45^0}\];               b] \[{150^0}\];c] \[{72^0}\];               d] \[{75^0}\]Giải:a] \[\dfrac{\pi }{4}\];                       b] \[\dfrac{{5\pi }}{6}\];c] \[\dfrac{{2\pi }}{5}\];                      d] \[\dfrac{{5\pi }}{{12}}\]

Câu 6.5 trang 195 SBT Đại số 10 Nâng cao

Ơ-ra-tơ-xten [Eratosthene], ở thế kỉ II trước Công nguyên [Nguyên giám đốc thư viện nổi tiếng ở A-lếch-xăng-đri [Alexandrie]] đã tìm cách tính bán kính của Trái Đất bằng cách đo khoảng cách giữa hai thành phố A-lếch-xăng-đri và Xy-en...

Câu 6.6 trang 196 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bánh xe máy có đường kính [kể cả lốp xe] 55 cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?Giải:Trong một giây, bánh xe quay được \[\dfrac{{4000000}}{{60.60.55\pi }} \approx...