Cho số phức z thỏa mãn hệ thức zizi 2 + 3 giá trị nhỏ nhất của biểu thức pzii 2 12 bằng
|
Hay nhất
Chọn C Đặt \(z=z+yi,\, \, \left(x,y\in {\rm R}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} +2y=3\Leftrightarrow 3x^{2} +3y^{2} +6y=9\) \(\Rightarrow x^{2} +y^{2} +9=4x^{2} +4y^{2} +6y\)
\(=\sqrt{\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} }\)
\(\sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \ge \sqrt{\left(a+c\right)^{2} +\left(b+d\right)^{2} } \)
Cách 2: Đặt\( z=z+yi,\, \, \left(x,y\in {\rm R}\right)\) \(\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left(y-1\right)^{2} =4\) \(\Rightarrow\) tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(0;-1\right)\), bán kính R=2.
\(=\sqrt{\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \) \(=2\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
Nhận thấy A nằm trong đường tròn \(\left(C\right)\), B nằm ngoài đường tròn\( \left(C\right)\) \(\Rightarrow P=2\left(MA+MB\right)\ge 2AB=4\sqrt{2}\) . Dấu ``='' xảy ra khi M thuộc đoạn AB. Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Giải chi tiết: Giả sử \(M,A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z,\,\,{z_1} = - 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i\) Khi đó, \(\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow MA - MB = 2\sqrt 5 \), với \(A\left( { - 2;1} \right),\,B\left( {2;3} \right)\) Nhận xét: \(AB = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \Rightarrow MA - MB = AB \Rightarrow B\) trên đoạn thẳng \(MB\).  \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}t\overrightarrow {AB} ,\,\,t \ge 0 \Leftrightarrow M\left( {2 + 2t;3 + t} \right)\\ \Rightarrow \left| z \right| = OM = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {3 + t} \right)}^2}} = \sqrt {5{t^2} + 14t + 13} ,\,\,t \ge 0.\end{array}\) Xét \(f\left( t \right) = 5{t^2} + 14t + 13,\,\,t \in \left[ {0; + \infty } \right),\,\,\,\,f'\left( t \right) = 10t + 14 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\) \(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 13\) \( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13} \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left( {2;3} \right)\,\,\,\left( {M \equiv B} \right).\) Chọn: C
1. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+i | = | z-2-3i |. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z+2+i | + | z-3+2i | 2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-i | = 2. Biết rằng | z | lớn nhất. Tìm phần ảo của z 3. Cho số phức z thỏa \(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\). Tìm phần ảo của số phức z 4. Cho 2 số phức z = m + 3i, z' = 2 - (m + 1)i. Tìm giá trị thực của m để z.z' là số thực 5. Cho 3 điểm A, B, M lần lượt biểu diễn các số phức -4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng? 6. Cho 2 số phức \(z_1=1+2i\), \(z_2=2-3i\). Xác định phần ảo của số phức \(3z_1-2z_2\) 7. Nếu mô đun số phức z bằng m thì mô đun của số phức \(\left(1-i\right)^2z\) bằng? 8. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+3i | = 3. Tìm min | z-1-i | 9. Trong mặt phẳng phức tìm điểm biểu diễn số phức z = \(\frac{i^{2017}}{3+4i}\) 10. Trong mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Oxy, điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b \(\in\) R luôn nằm trên đường có phương trình là: A. y = x B. x = 3 C. y = x + 3 D. y = 3 11. Cho 2 số phức \(z_1=1+2i\), \(z_2=2-3i\). Tổng hai số phức là? 12. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức \(w=iz+\overline{z}\) 13. Ký hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(z^2+z+1=0\). Tìm trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w=\frac{i}{z_0}\): A. \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) B. \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)\) C. \(M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) D. \(M\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 14. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z+7-5i | = | z-1-11i |. Biết rằng số phức z = x + yi thỏa mãn \(\left|z-2-8i\right|^2+\left|z-6-6i\right|^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức \(p=x^2-y^2\)? 15. Gọi \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2z^2-6z+5=0\). Điểm nào sau đây biểu diễn số phức \(iz_0\): A. \(M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\) B. \(M\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)\) C. \(M\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\) D. \(M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\) 16. Tính mô đun của số phức \(w=z^2+i\overline{z}\) biết z thỏa mãn \(\left(1+2i\right)z+\left(2+3i\right)\overline{z}=6+2i\) 17. Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn 3 số phức \(z_1=1+i\), \(z_2=\left(1+i\right)^2\), \(z_3=a-i\left(a\in R\right)\). Để tam giác ABC vuông tại B thì A bằng? A. -3 B. 3 C. -4 D. -2 18. Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)z = 3+i. Tính giá trị biểu thức \(\left|z\right|^4-\left|z\right|^2+1\) 19. Cho số phức z = a + (a-1)i (a\(\in R\)). Giá trị thực nào của a để | z | = 1 ? 20. Cho số phức z thoả mãn hệ thức | z+5-i | = | z+1-7i |. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = | |z-4-i| - |z-2-4i| | 21. Trong các số phức z = a + bi thỏa mãn | z-1+2i | =1, biết rằng | z+3-i | đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(p=\frac{a}{b}\) 22. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(z_1=-1+3i\), \(z_2=-3-2i\), \(z_3=4+i\). Chọn kết luận đúng nhất: A. Tam giác ABC cân B. Tam giác ABC đều C. Tam giác ABC vuông D. Tam giác ABC vuông cân 23. Cho số phức z = 5-3i. Tính \(1+\overline{z}+\left(\overline{z}\right)^2\) 24. Cho \(f\left(z\right)=z^3-3z^2+z-1\) với z là số phức. Tính \(f\left(z_0\right)-f\left(\overline{z_0}\right)\) biết \(z_0=1-2i\) 25. Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 - i = 0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M (3;-4) là: A. \(\sqrt{13}\) B. \(2\sqrt{2}\) C. \(2\sqrt{5}\) D. \(2\sqrt{10}\) |
