Hay nhất
Chọn C
Đặt \[z=z+yi,\, \, \left[x,y\in {\rm R}\right]\]
\[\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left[y-1\right]^{2} =4\]
\[\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} +2y=3\Leftrightarrow 3x^{2} +3y^{2} +6y=9\]
\[\Rightarrow x^{2} +y^{2} +9=4x^{2} +4y^{2} +6y\]
Cách 1:
\[P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\]
\[=\sqrt{\left[x-4\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} }\]
\[=\sqrt{x^{2} +y^{2} -8x+2y+17} +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
\[=\sqrt{x^{2} +y^{2} +9-8x+2y+8} +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} }\]
\[=\sqrt{4x^{2} +4y^{2} +6y-8x+2y+8} +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
\[=2\sqrt{\left[x-1\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} }\]
\[=2\left[\sqrt{\left[x-1\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \right]\]
Áp dụng bất đẳng thức Mincoski:
\[\sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \ge \sqrt{\left[a+c\right]^{2} +\left[b+d\right]^{2} } \]
\[\Rightarrow P\ge 2\sqrt{\left[x-1+3-x\right]^{2} +\left[y+1-y-3\right]^{2} } =4\sqrt{2} .\]
Vậy \[MinP=4\sqrt{2} .\]
Cách 2:
Đặt\[ z=z+yi,\, \, \left[x,y\in {\rm R}\right]\]
\[\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left[y-1\right]^{2} =4\]
\[\Rightarrow\] tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
là đường tròn \[\left[C\right]\] có tâm \[I\left[0;-1\right]\], bán kính R=2.
\[P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\]
\[=\sqrt{\left[x-4\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
\[=2\sqrt{\left[x-1\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
Gọi \[A\left[1;-1\right],\, B\left[3;-3\right]\]
Nhận thấy A nằm trong đường tròn \[\left[C\right]\],
B nằm ngoài đường tròn\[ \left[C\right]\]
\[\Rightarrow P=2\left[MA+MB\right]\ge 2AB=4\sqrt{2}\] .
Dấu ``='' xảy ra khi M thuộc đoạn AB.
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Giải chi tiết:
Giả sử \[M,A,B\] lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \[z,\,\,{z_1} = - 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i\]
Khi đó, \[\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow MA - MB = 2\sqrt 5 \], với \[A\left[ { - 2;1} \right],\,B\left[ {2;3} \right]\]
Nhận xét: \[AB = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \Rightarrow MA - MB = AB \Rightarrow B\] trên đoạn thẳng \[MB\].
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left[ {4;2} \right] \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}t\overrightarrow {AB} ,\,\,t \ge 0 \Leftrightarrow M\left[ {2 + 2t;3 + t} \right]\\ \Rightarrow \left| z \right| = OM = \sqrt {{{\left[ {2 + 2t} \right]}^2} + {{\left[ {3 + t} \right]}^2}} = \sqrt {5{t^2} + 14t + 13} ,\,\,t \ge 0.\end{array}\]
Xét \[f\left[ t \right] = 5{t^2} + 14t + 13,\,\,t \in \left[ {0; + \infty } \right],\,\,\,\,f'\left[ t \right] = 10t + 14 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right]\]
\[f\left[ t \right]\] liên tục và đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right] \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} f\left[ t \right] = f\left[ 0 \right] = 13\]
\[ \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13} \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left[ {2;3} \right]\,\,\,\left[ {M \equiv B} \right].\]
Chọn: C
1. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+i | = | z-2-3i |. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z+2+i | + | z-3+2i |
2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-i | = 2. Biết rằng | z | lớn nhất. Tìm phần ảo của z
3. Cho số phức z thỏa \[\overline{z}=\left[i+\sqrt{2}\right]^2\left[1-\sqrt{2}i\right]\]. Tìm phần ảo của số phức z
4. Cho 2 số phức z = m + 3i, z' = 2 - [m + 1]i. Tìm giá trị thực của m để z.z' là số thực
5. Cho 3 điểm A, B, M lần lượt biểu diễn các số phức -4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng?
6. Cho 2 số phức \[z_1=1+2i\], \[z_2=2-3i\]. Xác định phần ảo của số phức \[3z_1-2z_2\]
7. Nếu mô đun số phức z bằng m thì mô đun của số phức \[\left[1-i\right]^2z\] bằng?
8. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+3i | = 3. Tìm min | z-1-i |
9. Trong mặt phẳng phức tìm điểm biểu diễn số phức z = \[\frac{i^{2017}}{3+4i}\]
10. Trong mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Oxy, điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b \[\in\] R luôn nằm trên đường có phương trình là: A. y = x B. x = 3 C. y = x + 3 D. y = 3
11. Cho 2 số phức \[z_1=1+2i\], \[z_2=2-3i\]. Tổng hai số phức là?
12. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức \[w=iz+\overline{z}\]
13. Ký hiệu \[z_0\] là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \[z^2+z+1=0\]. Tìm trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \[w=\frac{i}{z_0}\]: A. \[M\left[-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right]\] B. \[M\left[-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right]\] C. \[M\left[\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right]\] D. \[M\left[-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\]
14. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z+7-5i | = | z-1-11i |. Biết rằng số phức z = x + yi thỏa mãn \[\left|z-2-8i\right|^2+\left|z-6-6i\right|^2\] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức \[p=x^2-y^2\]?
15. Gọi \[z_0\] là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \[2z^2-6z+5=0\]. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức \[iz_0\]: A. \[M\left[\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right]\] B. \[M\left[\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right]\] C. \[M\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]\] D. \[M\left[\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]\]
16. Tính mô đun của số phức \[w=z^2+i\overline{z}\] biết z thỏa mãn \[\left[1+2i\right]z+\left[2+3i\right]\overline{z}=6+2i\]
17. Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn 3 số phức \[z_1=1+i\], \[z_2=\left[1+i\right]^2\], \[z_3=a-i\left[a\in R\right]\]. Để tam giác ABC vuông tại B thì A bằng? A. -3 B. 3 C. -4 D. -2
18. Cho số phức z thỏa mãn [1+2i]z = 3+i. Tính giá trị biểu thức \[\left|z\right|^4-\left|z\right|^2+1\]
19. Cho số phức z = a + [a-1]i [a\[\in R\]]. Giá trị thực nào của a để | z | = 1 ?
20. Cho số phức z thoả mãn hệ thức | z+5-i | = | z+1-7i |. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = | |z-4-i| - |z-2-4i| |
21. Trong các số phức z = a + bi thỏa mãn | z-1+2i | =1, biết rằng | z+3-i | đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \[p=\frac{a}{b}\]
22. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \[z_1=-1+3i\], \[z_2=-3-2i\], \[z_3=4+i\]. Chọn kết luận đúng nhất: A. Tam giác ABC cân B. Tam giác ABC đều C. Tam giác ABC vuông D. Tam giác ABC vuông cân
23. Cho số phức z = 5-3i. Tính \[1+\overline{z}+\left[\overline{z}\right]^2\]
24. Cho \[f\left[z\right]=z^3-3z^2+z-1\] với z là số phức. Tính \[f\left[z_0\right]-f\left[\overline{z_0}\right]\] biết \[z_0=1-2i\]
25. Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 - i = 0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M [3;-4] là: A. \[\sqrt{13}\] B. \[2\sqrt{2}\] C. \[2\sqrt{5}\] D. \[2\sqrt{10}\]