Chung minh công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài viết khoảng cách giữa 2 đường thẳng bao gồm: công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy

Cho 2 đường thẳng chéo nhau:
d1đi qua A có 1 VTCP

d2đi qua B có 1 VTCP

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2

Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Ta dễ dàng kiểm tra được d1 và d2là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2.

Gọi

, .

Ta có:

Vậy:

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

Cách 1:

đi qua M1. có 1 VTCP
đi qua M2. có 1 VTCP

Cách 2:
AB là đoạn vuông góc chung

,

Ví dụ:

Cho

a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Tính d(d1;d2)

Lời giải:
a)
d1 đi qua M1(1;2;-3), có 1 VTCP

d2đi qua M2(2;-3;1), có 1 VTCP



Vậy d1, d2 chéo nhau
b)
Cách 1:


Cách 2:


AB là đoạn vuông góc chung

AB = d(d1;d2)

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó

. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng và song song với . Khi đó

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: và vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

• Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa và vuông góc với tại I.
• Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ
  .

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và

.

Trường hợp 2: và chéo nhau mà không vuông góc với nhau

• Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa và song song với .
• Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của xuống (α) bằng cách lấy điểm
  dựng đoạn
  , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với .
• Bước 3: Gọi
  , dựng

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và

.

Hoặc

• Bước 1: Chọn mặt phẳng
  tại I.
• Bước 2: Tìm hình chiếu d của xuống mặt phẳng (α).
• Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng
  , từ J dựng đường thẳng song song với cắt tại H, từ H dựng
  .

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và

.

Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi

b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương thì .
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!