A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘTPHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.1. Phương pháp giải.Cách 1: - Đưa phương tnh đă cho về dạng: [C] : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 [1]- Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 – c + Nếu P > 0 thì [1] là phương trình đường tròn [C] có tâm I[a;b] và bán kính R =2 2a b c+ −+ Nếu P ≤ 0 thì [1] không phải là phương trình đường tròn.Cách 2: Đưa phương trình về dạng: [x-a]2 + [y-b]2 = P [2].+ Nếu P > 0 thì [2] là phương trình đường tròn có tâm I[a;b] và bán kính R = P+ Nếu P ≤ 0 thì [2] không phải là phương trình đường tròn.2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm vàbán kính nếu có.a] x2 + y2+2x -4y + 9 = 0b] x2 + y2-6x +4y + 13 = 0c] 2x2 + 2y2-8x -4y -6 = 0d] 5x2 + 4y2+x -4y + 1 = 0Giải: a] Ta có: a2 + b2 – c = -4 < 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đườngtròn.b] Ta có: a2 + b2 – c = 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đường tròn.c] Ta có: a2 + b2 – c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I[2/7;-3/7] vàbán kính R = 527d] Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.Ví dụ 2: Cho đường cong [Cm]: x2 + y2-2mx -4[m-2]y + 6 - m = 0 [1]a] Tìm điều kiện của m để [1] là phương trình đường tròn.b] Nếu [1] là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.Giải: [1] là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 – c > 0 ⇔ m2 – 3m + 2 > 0 ⇔ 21mm> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và [C] không có giao điểm nào. TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và [C] có duy nhất một giao điểm. TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và [C] có 2 giao điểm. Nhận xét:Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của [C] và d mà không cần quan tâmđến toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và [C]có tâm I[-1;2] và bán kính R = 13a] Viết phương trình đường tròn.b] Tìm toạ độ giao điểm của [C] và d.Giải: Phương trình đường tròn là: [x+1]2 + [y-2]2 = 13.Để tìm toạ độ giao điểm của [C] và d ta sủ dụng cách 1.Toạ độ giao điểm của [C] và d là nghiệm của hệ phương trình: 72 25 2 0[ 1] [ 2] 13x yx y− − =+ + − =Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A[2;0] và B[-3;-1]Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của [C] và d trong đó: d: mx-y-3m-2=0 [C]: x2 + y2 -4x-2y = 0Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp2 để giải.Tâm và bán kính của đường tròn này là: I[2;1] và R = 5Khoảng cách từ tâm I đến d là h = 231mm++TH1: 231mm++⇒ h < R ⇒ d và [C] có 2 giao điểm. TH2: 231mm++=5⇔ [m+3]2 =5[m2 + 1] ⇔ 4m2 – 6m-4= 0 ⇔122mm= −=⇒ h = R ⇒ d và [C] có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với [C]. TH3: 231mm++>5⇔ [m+3]2 >5[m2 + 1] ⇔ 4m2 – 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2⇒ h > R ⇒ d và [C] không có giao điểm nào. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.Ví dụ 15: Cho [C]: x2 + y2 -4x + 6y – 12 = 0 và điểm D[1;1].1] Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua D và cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B saocho AB đạt giá trị lớn nhất. 1] Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua D và cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B saocho AB đạt giá trị nhỏ nhất. 1] Viết phương trình đường thẳng ∆3 đi qua D và cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B saocho DA=2DBGiải: Đường tròn này có tâm I[2;-3] và bán kính R = 5.8Ta có ID = 17< 5 ⇒ D nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua D đềucắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.a] ∆1 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmax ⇔ AB là đườngkính của đường tròn này ⇒ ∆1 đi qua D và I ⇒ phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0.b] ∆2 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin ⇔ d[I;AB]max = ID⇔ AB ⊥ ID tại D ⇒ ∆1 đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình códạng: x-4y+3 = 0.c] Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn [C] là: P = .DA DBuuur uuur=-2DA2 mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8 ⇒ DA2 = 4⇒ [xA – 1]2 + [yA – 1]2 =4 [1]mà A ∈ [C] ⇒ xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = 0 [2]Từ [1] và [2] ⇒ A[-1;1] hoặc A[115/17;33/17]Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x-15y-83=0Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.Cho đường tròn [C]: [x-a]2 + [y-b]2 = R2 . [C] có tâm I[a;b] và bán kính RBài toán 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn [C] tại điểm M[x0;y0] ∈ [C].Giải: Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn [C]. Vì ∆ tiếp xúc với [C] tại M ⇒ ∆ đi quaM và nhận IMuuur [x0 – a; y0 – b] làm vecctơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng: [x0 – a][x- x0] + [y0 – a][y- y0] = 0 [1]Chú ý:+ Phương trình [*] có thể biến đổi về dạng sau: [x0 – a][x- a] + [y0 – a][y- b] = R2[1a]+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyếncủa đường tròn tại điểm M[x0,y0] có dạng: xx0 + yy0 – [x+x0]a- [y+y0]b + c = 0 [1b] [Phươngtrình này được suy trực tiếp từ [1a]].Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng[1a] và [1b]gọi là "phương pháp phânđôi toạ độ". Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M[x0; y0] khôngthuộc đường tròn.Bài toán này có hai cách giải như sau: Cách 1: +/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với Ox. Khi đó ∆ có phương trình là x= x0.9∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d[I;∆ ] = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được ∆ cóphải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ có dạng: y =k[x-x0] + y0.∆ tiếp xúc với [C] ⇔ d[I;∆ ] = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k.Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau: - Tính IM.- So sánh IM với R: + Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn.+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn.Cách 2: - Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình: a[x-x0] + b[y-y0] = 0 trong đó a2 + b2 ≠ 0.- ∆ là tiếp tuyến với đường tròn [C] ⇔ d[I;∆ ] = R [*]- Từ điều kiện [*], tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng 0 nêncó thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.Giải: - Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y = kx + m.- ∆ tiếp xúc với [C] ⇔ d[I;∆ ] = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được m.Chú ý: - Nếu tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng: ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽcó dạng: ax+by + c' = 0 [c' ≠ c].- Nếu tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽcó dạng: -bx+ay + c' = 0 [c' ≠ c].Ví dụ 16: Cho đường tròn [C] có phương trình x2 + y2-6x +2y + 6 = 0 và điểm A [1;3]a] Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] kẻ từ A.Giải: Đường tròn [C] có tâm I[3; -1] bán kính R = 2.a] Ta có: IA = 25> R ⇒ A nằm ngoài đường tròn [C].b] Ta giải bài toán này theo hai cách.Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là [a; b] có dạng: a[x – 2] + b[ y – 6] = 0 [a2 + b2 ≠ 0]Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d[I,d] = R10⇔ 2 2[3 1] [ 1 3]a ba b− + − −+=2 ⇔ [a - 2b]2 = [a2 + b2] ⇔ 3b2 -4ab = 0 ⇔ 043bb a==.*] Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.*] Nếu b=43a. Chọn a = 3, b = 4phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với [C] là: x = 13x – 4y – 15 = 0.Cách 2: *] Xét ∆ đi qua A và vuông góc với Ox ⇒ phương trình ∆ : x = 1 hay x – 1 = 0.∆ là tiếp tuyến của [C] ⇔ d[I;∆ ] = R ⇔ 3 11−=2. Đẳng thức này đúng nên x = 1 làtiếp tuyến của [C].*] Xét ∆ đi qua A và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ là: y = k[x – 1] + 3 hay kx – y +3 – k = 0.∆ tiếp xúc với [C] ⇔ d[I;∆ ] = R ⇔ 23 1 31k kk+ + −+=2[k+2]2 = k2 + 1 ⇔ k =-34 ⇒ ta được tiếp tuyến: y = -34[x–1] + 3 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợplại khá ngắn gọn và đơn giản. Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạnchế. Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xéttrường hợp thứ nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với Ox [đường thẳng không có hệ số góc]và do đó bài toán sẽ mất nghiệm.Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x2 + y2+4x +4y -17 = 0.Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau: a] Điểm tiếp xúc là M[2;1]b] d đi qua A[3;6]c] d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = 0Giải: Đường tròn này có tâm I[-2;-2], bán kính R = 5a] Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất.Theo phương pháp phân đôi toạ độ ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tạiM[2;1] là: 112x +1.y +2[x + 2] + 2[y+1] -17 = 0⇔ 4x + 3y-11 = 0.b] Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai.Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là [a; b] có dạng: a[x – 2] + b[ y – 6] = 0Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d[I,d] = R⇔ 2 2[ 2 3] [ 2 6]a ba b− − + − −+=5 ⇔ [5a + 8b]2 = 25[a2 + b2] ⇔ 39 b2 +80ab = 0.*] Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 2.*] Nếu b ≠ 0: ⇒ a = -39/80.b. Chọn a = -39, b = 80phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0.Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài.c] Đây là bài toán tiếp tuyến thứ ba.Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = 0 có dạng: 3x– 4y + c = 0.Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn ⇔ d[I;d3] = R ⇔ 2 23.[ 2] 4[ 2]3 4c− − − ++=5 ⇔ 2 c+=25 ⇒ c = 23 hoặc c = -27.Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0.Ví dụ 18: Cho đường tròn x2 + y2-2x -6y + 6 = 0 và điểm M[2;4].a] Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao choM là trung điểm của đoạn thẳng AB.b] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1. Đại học Tài chính kế toán- 1997Giải: Đường tròn này có tâm I[1;3] và bán kính R = 2.a] Ta có: IM = 2< 2 = R ⇒ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi qua M đềucắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểmcủa AB ⇒ IM ⊥ AB ⇒ ∆ nhận IMuuur[1;1] làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình của ∆: x-2+y-4 = 0 ⇔ x + y – 6 = 0.b] Phương trình của ∆ có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 012∆ tiếp xúc với [C] ⇔ d[I;∆ ] = R ⇔ 1 31 1m+ −+=2[4-m]2 = 8 ⇔ 4 2 24 2 2mm= −= +Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài là: x + y -4+22= 0 x + y -4-22= 0Ví dụ 19: Cho đường tròn [C]: x2 + y2+2x -4y -4 = 0 và điểm A[2; 5].Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc vớiđường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN. Đại học Ngoại thương- 1997Giải: Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5.Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 2 222 6 6 0xx y x y=+ − − + =⇔ 22xy== ⇒ M[2; 2]Toạ độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình: 2 252 6 6 0yx y x y=+ − − + =⇔ 15xy= −= ⇒ N[-1; 5]⇒ MN = [ ]221 2 [5 2] 3 2− − + − =Ví dụ 20: Cho [C]: x2 + y2-2x +2y -3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếptuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho ∆ ABC có diện tích bằng 4.Giải: [C]có tâm I[1;-1] và bán kính R = 5Giả sử A[a;0], B[0; b] trong đó a > 0 và b> 0.Phương trình đường thẳng AB có dạng: 1x ya b+ = ⇔ bx + ay – ab = 0SAOB = 4 ⇒ 12ab=4 ⇒ ab = 8.AB tiếp xúc với [C] ⇒ d[I,AB] = R ⇔ 2 2b a aba b− −+=5⇒ b – a = -2 ⇒ 42ab==Vậy phương trình AB: x + 2y – 4 = 0Dạng 4: Một số bài toán khác về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn [C]: x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Tìm13điểm M ∈ d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với [C] tại A và B sao cho góc AMB = 600Giải: [C]: [x+1]2 + [y-2]2 = 5.⇒ Đường tròn có tâm I[-1;2] và có bán kính 5.Từ góc AMB bằng 600 ⇒ AMI = 300⇒ MI = 2AI = 2R = 2 5.Gọi toạ độ của M[x;y].Ta có hệ phương trình2 21 0[ 1] [ 2] 20x yx y− + =+ + − =Giải hệ này ta được: x = -3, y = -2x = 3, y = 4.Vậy có hai điểm M thoả mãn M1 [-3;-2] và M2 [3;4]VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.Cho hai đường tròn: [C1]: x2 + y2-2a1x -2b1y + c1 = 0[C2]: x2 + y2-2a2x -2b2y + c2 = 0Để xét vị trí tương đối của [C] và [C] ta có hai phương pháp như sau: Phương pháp 1: Xét số giao điểm của [C1] và [C2]. Số giao điểm của [C1] và [C2] là sốnghiệm của hệ phương trình: 2 21 1 12 22 2 22a x 2 02a x 2 0x y b y cx y b y c+ − − + =+ − − + =- Nếu hệ vô nghiệm thì [C1] và [C2] không có giao điểm nào ⇒[C1] không cắt[C2].- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì [C1] và [C2] có một giao điểm ⇒[C1] tiếpxúc với [C2]. - Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì [C1] và [C2] có hai giao điểm .- Nếu hệ có vô số nghiệm thì [C1] trùng [C2]Phương pháp 2: - [C1] có tâm I1 [a1; b1] và bán kính R1- [C2] có tâm I2 [a2; b2] và bán kính R2- Tính I1I2 = d- Biện luận vị trí tương đối:+ Nếu 1 2 1 2R R d R R− < < + thì [C1] và [C2] cắt nhau tại hai điểm phân biệt.14+ Nếu 1 2d R R= + thì [C1] và [C2] tiếp xúc ngoài nhau.+ Nếu 1 2d R R= − thì [C1] và [C2] tiếp xúc trong nhau. + Nếu 1 2d R R> + thì [C1] và [C2] ngoài nhau.+ Nếu 1 2d R R< − thì [C1] và [C2] chứa trong nhau. Nhận xét: - Đối với phương pháp 1 ta chỉ ra được hai đường tròn có cắt nhau hay không và cònchỉ ra được toạ độ giao điểm của hai đường tròn nhưng trong trường hợp hai đường tròn tiếpxúc nhau thì không chỉ ra được tiếp xúc trong hay ngoài.- Đối với phương pháp 2: Ta chỉ ra được vị trí tương đối của hai đường tròn một cáchcụ thể tuy nhiên không tìm được toạ độ tiếp điểm nếu có.Tuỳ từng bài toán cụ thể để lựa chọn phương pháp giải phù hợp hoặc có thể phảiphối hợp hai phương pháp.Ví dụ 22: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn sau: [C] x2 + y2-2x -6y +-15 = 0[C] x2 + y2-6x -2y -3 = 0Giải: [C1] có tâm I1[1;3] và bán kính R1 = 5[C2] có tâm I2[3;1] và bán kính R2 = 13I1I2 = 22Ta thấy: 1 2 1 2 1 2R R I I R R− < < + ⇒ hai đường tròn cắt nhau.Ví dụ 23: Cho hai đường tròn: [C]: x2 + y2 = 1 và [Cm]: x2 + y2-2[m+1]x +4my -5 = 0Xác định m để [Cm] tiếp xúc với [C].Giải: [C] có tâm O[0;0] và bán kính R = 1.[Cm] có tâm I[m+1; -2m] và bán kính R' = 2 2[ 1] 4 5m m+ + +Ta thấy OI = 2 2[ 1] 4m m+ +< R' ⇒ điểm O nằm trong đường tròn tâm I ⇒ [C] và[Cm] chỉ có thể tiếp xúc trong nhau.Điều kiện để hai đưòng tròn tiếp xúc trong là R' – R = OI⇔ 2 2[ 1] 4 5m m+ + +-1 =2 2[ 1] 4m m+ +Giải phương trình này ta được: m = -1 hoặc m = 3/5Chú ý: Để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau thông thường ta phải xét haitrường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài.15Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.Để viết phương trình tiếp tuyến chung ∆ của hai đường tròn ta làm như sau: *] Kiểm tra xem đường thẳng có dạng x = m[ đường thẳng không có hệ số góc] cóphải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn không.*] Xét ∆ : y = ax+ b. Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔ khoảng cách từ I1 đến ∆= R1 và khoảng cách từ I2 đến ∆ = R2 ⇔ 1 12 2[ ; ][ ; ]d I Rd I R∆ =∆ =Giải hệ này ta sẽ tìm được a và b.Ví dụ 24: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn: [C1]: x2 + y2-8x -2y + 7 = 0 , [C2]: x2 + y2-3x -7y + 12 = 0 và viết phương trình tiếp tuyếnchung của hai đường tròn ấy.Giải: Toạ độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình: 2 22 28 2 7 03 7 12 0x y x yx y x y+ − − + =+ − − + =Giải hệ này ta được 12xy== hoặc 34xy==Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.*] Xét đường thẳng x = m ⇔ x – m = 0.Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔ 4 103 52 2mm− =− = hệ này vônghiệm ⇒ đường thẳng dạng x = m không phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.*] Xét đường thẳng ∆ có dạng: y = ax + b ⇒ ax – y + b = 0∆ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔ 221 4 10 17 3 512 2 2a b aa b a− − = +− − = +16Giải hệ này ta được:3313173abab= −=−== ⇒ có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y = -3x + 3 và y = -1/3 x + 17/3VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒNTrong vấn đề này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn nhưsau: Cho họ đường tròn [Cm] : f[x, y, m] = 0Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn [Cm]Phương pháp giải: - Tìm điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.- Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đã cho [theo m] [ ][ ]IIx f my g m==.- Từ hệ trên khử m để tìm mối liên hệ giữa xI và yI.- Kết hợp với điều kiện tìm được ở trên để giới hạn quỹ tích tìm được.Bài toán 2: Tìm điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m.Phương pháp giải: - Giải sử A[x0;y0]] là điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m⇔ phương trình f[x0, y0, m] = 0 đúng với mọi m.- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số củam bằng 0 kể cả hệ số tự do.- Giải hệ đó ta sẽ tìm được x0 và y0.Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m.Phương pháp giải: - Giải sử A[x0;y0]] là điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m⇔ phương trình f[x0, y0, m] = 0 vô nghiệm m.- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số củam bằng 0 còn hệ số tự do khác 0.- Giải hệ đó ta sẽ tìm được điều kiện của x0 và y0.17Ví dụ 26: Cho [Cm]: x2 + y2+2mx -2[m-1]y + 1 = 0a] Tìm m để [Cm] tiếp xúc với đường thẳng: ∆ : x + y + 1 + 22= 0b] Tìm m để từ điểm A[7;0] có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với [Cm] vuông góc với nhau.c] Tìm m để từ điểm A[7;0] có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với [Cm] và tạo với nhau góc600.Giải: Điều kiện để [Cm] là đường tròn là: m2 + [m-1]2 – 1 > 0 ⇔ 10mm> 0 ∀ m ⇒ [Cm] là đường tròn với mọi m.b] Toạ độ tâm I của đường tròn là 2242mxmy+= −+=18IAKKKhử m từ hệ này ta được x + y – 1 = 0.Giới hạn quỹ tích: không có.Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là đường thẳng x + y – 1 = 0.c] Gọi M[x0;y0] là điểm cố định mà họ [Cm] luôn đi qua. Khi đó ta có: x02 + y02+[m+2]x0 –[m+4]y0 + m+1 = 0 ∀ m.⇔ [x0 – y0 + 1] m + x02 + y02 + 2x0 – 4y0 + 1 = 0 ∀ m⇔ 000 02 20 0 0 000101 02 4 1 012xyx yx y x yxy= −=− + = ⇔+ + − + ===. Vậy có hai điểm cố định mà họ [Cm] luôn đi qua ∀md] [Cm] không đi qua điểm [x1;y1] với mọi m khi và chỉ khi phương trình ẩn m: [x1 – y1 + 1] m + x12 + y12 + 2x1 – 4y + 1 = 0 vô nghiệm m⇔ 0 01 12 210 0 0 01 0112 4 1 0x yy xxx y x y− + == +⇔ ≠ ±+ + − + ≠Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ mà học [Cm] không bao giờ đi qua với mọigiá trị của m là đường thẳng ∆ có phương trình y = x + 1, bỏ đi hai điểm M1 [ -1;0] và M2[1;2].B. BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC.Bài 1: Đại học cao đẳng khối D năm 2003.Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn [C]: [x-1]2 + [y – 2]2 = 4 và đường thẳng d:x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn [C] đối xứng với [C] qua d. Tìm toạ độ cácgiao điểm của [C] và [C].Giải: Đường tròn [C] có tâm I[1; 2] và bán kính R = 2. Khi đó [C] là đường tròn có tâm I'là điểm đối xứng của I qua d và cững có bán kính bằng 2. *] Tìm I'. Gọi H là hình chiếu của I trên d dễ dàng tìm được toạ độ của H là H[2;1].⇒ Toạ độ của I' là [3;0] ⇒ phương trình [C] là: [x – 3]2 + [y2 = 4*] Giao của [C] và [C] chính là giao của d với [C].Xét hệ phương trình: 2 21 0[ 1] [ 2] 4x yx y− − =− + − =Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm là:[1;0] và [3; 2].Bài 2: Đại học Cao đẳng khối B năm 2005.19M1M2OTrong mặt phẳng toạ độ cho A[2;0] và B[6;4]. Viết phương trình đường tròn [C] tiếpxúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của [C] đến B bằng 5.Giải: Đường tròn [C] tiếp xúc với Ox tại A[2;0] nên tâm I[x0;y0] của nó nằmg trnênđường thẳng x = 2. Do đó ta có x = 2, Vậy I[2; y0].Vì IB = 5 ⇒ IB2 = 25 ⇒ [x0 – 6]2 + [y0 – 4]2 = 25 ⇔ y02 – 8y0 + 7 = 0 ⇒ y0 = 7 hoặcy0 = 1.Vậy có hai đường tròn thoả mãn là: [C]: [x – 2]2 + [ y – 7]2 = 49[x – 2]2 + [ y – 1]2 =1Bài 3: Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006.Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn [C]: x2 + y2-2x -2y + 1 = 0và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. tìm toạ độ M ∈ d sao cho đường tròn tâm M có bán kínhgấp đôi bán kính của đường tròn [C] và tiếp xúc ngoài với [C].Giải: [C] có tâm I[1;1] và bán kính R = 1. Gọi M[x ; y] ∈ d ⇒ M[x; x+3]. bán kính đườngtròn tâm M phải bằng 2. Để đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau thì IM = 3 ⇒ IM2 = 9Giải điều kiện này ta được M[1;4] hoặc M [-2;1].Bài 4: Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006.Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn [C]: x2 + y2-2x -6y + 6 = 0 và điểm M[3;1].Gọi T1, là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đén [C]. Viết phương trình đường thẳngT1 T2.Giải: [C] có tâm I[1; 3] bán kính R = 2. Giả sử T1[x1; y1] và T2[x2;y2] là các tiếp điểm của các tiếp tuyến MT1 và MT2.Phương trình tiếp tuyến MT1 có dạng: [x – 1][x1 – 1] + [y – 3][y1 – 3] = 4Phương trình tiếp tuyến MT2 có dạng: [x – 1][x2 – 1] + [y – 3][y2 – 3] = 4Do hai tiếp tuyến đều đi qua điểm M[-3;1] ⇒ 1 12 24[1 ] 2[3 ] 44[1 ] 2[3 ] 4x yx y− + − =− + − =⇒ [x1; y1], [x2; y2] thoả mãn phương trình: 4[ 1- x] + 2[ 3 – y] = 4 ⇔ 2x + y – 3 = 0.Đây chính là phương trình đường thẳng cần tìm.Nhận xét: Trong cách giải trên không hề tính tới tiếp điểm, nhưng đòi hỏi phải thuộc côngthức phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại một điểm M thuộc đường tròn.Với bài toán này ta có cách giải khác như sau: Dựa vào điểm M[-3; 1] và đường tròn có tâm I[ 1; 3] và bán kính R = 2 nên thấyngay đường thẳng y = 1 là một tiếp tuyến của đường tròn qua M ⇒ tiếp điểm T2 [1;1]. Tiếpđiểm T1 đối xứng với T2 qua đường MI nên nằm trên đường thẳng đi qua T2 và vuông gócvới MI ⇒ phương trình T1 T2 là: 2x + y – 3 = 0.20C. BÀI TẬP TỰ GIẢIBài 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm A[8; 0], B[0;6], C[9; 3]. Chứng minh ABC làtam giác vuông và viết phương trình đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác.Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ viết phương trình đường tròn qua A[2;4] và tiếp xúc vớiđường tròn: [C]: x2 + y2-2x -4y + 4= 0Đáp số: x = 2 và 3x – 4y + 10 = 0.Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho đuờng tròn [C]: [x – 1]2 + [y – 3]2 = 9 và đường thẳng d:x – 3y – 1 = 0.1/ Tìm điểm A, B là giao của d với [C].2/ Tìm C để tam giác ABC là tam giác vuông và nội tiếp trong [C].Đáp số: 1/ A[1;0], B[-4/5; -3/5]2/ C[14/5; -27/5] hoặc C[1;-6]Bài 4: Cho đuờng tròn [C] x2 + y2-2x +6y + 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến với [C] biếttiếp tuyến qua gốc toạ độ.Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A[1; 2], B[4; 1] và đường thẳng [d]: 2x – y – 5= 0. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d và qua A, B.Đáp số: [x – 1]2 + [y + 3]2 = 25.Bài 6: Ba đường thẳng d: x – 2y + 8 = 0, d: 2x – y + 4 = 0, d : y = 0 tạo thành tam giácABC.1/Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.2/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Đáp số: 1/ [x+5]2 + [y-4]2 = 252/ [x+5-5]2 + [y+1-5]2 = [5-1]2Bài 7: Cho hai đường tròn [C] : x2 + y2-x -6y + 8 = 0và [C] : x2 + y2-2mx -1 = 0 Tìm m để [C] tiếp xúc với [C]. Nói rõ loại tiếp xúc.Đáp số: [C] tiếp xúc ngoài với [C]: m = 2 hoặc m = -11/2.- Không có tiếp xúc trong.Bài 8: Có bao nhiêu tiếp tuyến chung với hai đường tròn [C1] và [C2] sau:[C1]: x2 + y2-4x -6y + 8 = 0[C2]: x2 + y2-16x + 44 = 0Đáp số: [C1] tiếp xúc ngoài với [C2] nên có 3 tiếp tuyến chung.Bài 9 : Cho hai họ đường thẳng phụ thuộc tham số m: d: mx – y – m = 0, d': x + my + 5 =0.21Chứng minh rằng khi m thay đổi giao điểm I của hai đường thẳng nằm trên mộtđường tròn.Đáp số: I nằm trên đường tròn: [x – 3]2 + y2 = 4Bài 10: Cho đường tròn [C]: x2 + y2-2x -4y + 3 = 0 lập phương trình đường tròn [C'] đốixứng với [C] qua đường thẳng d: x – 2 = 0.Đáp số: [x-3]2 + [y-2]2 = 222