A. Phương pháp giải
+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].
+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.
- Bước 1:Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.
- Bước 2:Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0
- Bước 3:Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].
Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].
Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.
+] Một số chú ý:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng[–1;2].
Hướng dẫn giải:
Hàm số f[x] = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R.
Ta có: f[-1] = -11, f[2] = 1 nên f[-1].f[2] < 0.
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trìnhđã cho cóít nhất một nghiệm thuộc khoảng[–1;2].
Ví dụ 2:Chứng minh rằng phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3+ x - 1
Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]
Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1]⊂ R] [1]
Ta có: f[0] = 03+ 0 – 1 = - 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1
⇒ f[0] . f[1] = - 1. 1 = - 1 < 0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].
Vậy phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm [đpcm].
Ví dụ 3:Chứng minh 4x4+ 2x2- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].
Hướng dẫn giải:
+ Đặt f[x] = 4x4+ 2x2- x - 3
Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.
Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].
+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4+ 2.[-1]2- [-1] - 3 = 4
f[0] = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3
f[1] = 4.14+ 2.12- 1 - 3 = 2
+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]
Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]
Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]
Ví dụ 4:Chứng minh rằng phương trình x5- 5x3+ 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x5- 5x3+ 4x - 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Ví dụ 5:Chứng minh rằng phương trình [m2- m + 3]x2n- 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = [m2- m + 3]x2n- 2x - 4
Ta có:
Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]
Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 6:Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3+ ax2+ bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
C. Bài tập áp dụng
Bài 1.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2;1]: 2x5-5x3-1=0.
Bài 2.CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3.CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 4.CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng [-1; 1].
Bài 5.CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn
Bài 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
[m2 – 4][x – 1]6 + 5x2 – 7x + 1=0
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:
a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong [-p/6; p]
c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt
d. [m2 – 1]x5 – [11m2 – 10]x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;2]*
Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm:
a] m[x - 1][x - 2] + 2x + 1 = 0
b] [m2 - 2m]x3 + 2x - 1 = 0
c] cosx + mcoss2x = 0
d] [1 - m2][x + 1]3 + x2 - x - 3 = 0
Bài 9.Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.
b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.
c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm
Để Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m trước tiên cùng tìm hiểu phương trình bậc 2 và những kiến thức liên quan trong chương trình toán học trung học cơ sở. Các bạn học sinh và quý thầy cô và phụ huynh cùng tham khảo nhé.
1. Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:
ax2+bx+c=0 [a≠0], được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.[1]
Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình [1] thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.
2. Cách giải phương trình bậc 2
Cách giải phương trình bậc 2 như sau:
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2: So sánh Δ với 0
Khi:
- Δ < 0 => phương trình [1] vô nghiệm
- Δ = 0 => phương trình [1] có nghiệm kép x=-b/2a
- Δ > 0 => phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.
3. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2
Cho phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 [a≠0]. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:
Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x1,x2 thông qua định lý Viet.
- x1+x2=-b/a
- x12+x22=[x1+x2]2-2x1x2=[b2-2ac]/a2
Định lý Viet đảo giả sử như tồn tại 2 số thực x1, x2 thỏa mãn x1+x2=S, x1x2=P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0
4. Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải phương trình bậc 2
4.1. Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh
Ta có cách tính nhanh nghiệm của phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 [a≠0] như sau:
- Nếu a+b+c=0 thì nghiệm x1 = 1, x2 = c/a
- Nếu a-b+c=0 thì nghiệm x1 = -1, x2 = -c/a
4.2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Cho đa thức P[x]=ax2+bx+c
- Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P[x]=0
- Thì đa thức P[x]=a[x-x1][x-x2]
4.3. Xác định dấu của các nghiệm
Cho phương trình ax2+bx+c=0 [a≠0],
Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Viet, ta có:
- Nếu S0, x1 cùng dấu x2
- P>0, cả hai nghiệm cùng dương.
- P= 4
Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
- b] Tìm giá trị của m để phương trình có 2 ng đối nhau
- phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x1+ x2= 0 m- 2= 0 =>m=2
- Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau
Ví dụ: Cho phương trình x^2-2mx+4m-4=0.
- a] chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
- b] Goi x1và x2 là hai nghiệm của phương trình. tìm m để 3x1x2+5 =x1^2-x2^2
Cách giải
- Δ’= m^2 – [4m-4] = m^2-4m+4 = [m-2]^2 ≥ 0
- ⇔ phương trình luôn có nghiệm với mọi m thuộc R
x1+x2 = 2m [*]
x1x2=4m-4 [*]
⇔ 3x1x2 + 5= -x1^2 – x2^2 ⇔ 3x1x2 + 5 = -[x1+x2]^2 + 2x1x2
⇔ [x1+x2]^2 + x1x2 + 5=0 [**]
ta thay phương trình [*] và phương trình [**] sẽ ra phương trình bậc 2 ẩn m và giải như bình thường.
Kết luận
Trên đây là tổng hợp những kiến thức cơ bản của phương trình bậc 2 và phương pháp chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Mong rằng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo trong học tập và giảng dạy.
Tags: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Video liên quan