- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách giải bất phương trình mũ - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
1. Phương pháp giải
Quảng cáo
• Bất phương trình dạng af[x] > ag[x] [a > 0; a ≠ 1]
+ Nếu a > 1 thì af[x] > ag[x] ⇔ f[x] > g[x].
+ Nếu 0 < a < 1 thì af[x] > ag[x] ⇔ f[x] < g[x].
• Bất phương trình dạng af[x] > b [a > 0; a ≠ 1]
+ Nếu b ≤ 0 thì ax > b ⇔ x ∈ R
+ Nếu a > 1 thì ax > b ⇔ x > logab
+ Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax > b ⇔ x < logab
• Bất phương trình dạng ax > b [a > 0; a ≠ 1]
+ Nếu b ≤ 0 thì ax < b ⇔ x ∈ ø
+ Nếu a > 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x < logab
+ Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x > loga b
* Tương tự với bất phương trình dạng:
* Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: aM > aN ⇔ [a − 1][M − N] > 0.
* Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số y= f[ x] có tập xác định D:
Nếu hàm số đồng biến trên D thì f[u] < f[v] ⇔ u < v.
Nếu hàm số nghịch biến trên D thì f[u] < f [v] ⇔ u > v.
Quảng cáo
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải bất phương trình 3x2 − 9x + 6 > 3x − 3
A. 1 < x < 9 B. x > 1 C. x < 9 D. x > 9 hoặc x < 1
Đáp án: D
Bất phương trình 3x2 − 9x + 6 > 3x − 3
⇔ x2 − 9x + 6 > x − 3 [vì cơ số 3 > 1].
⇔ x2 − 10x + 9 > 0
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình
A. 6 B. 8 C. 7 D. 9
Đáp án: C
Điều kiện: x ∈ R [*]
Ta có:
⇔ x2 − 6x + 4 < 4x − 5 [vì cơ số
⇔ x2 − 10x+ 9 < 0 hay 1 < x < 9
Mà x nguyên nên x ∈ { 2, 3, 4.., 7, 8}. Vậy có 7 giá trị nguyên của x thỏa mãn.
Ví dụ 3. Bất phương trình 4x2 − 6x − 16 > 16x + 2 có số nghiệm nguyên dương ?
A.11 B. 0 C.1 D. Vô số.
Đáp án: D
Điều kiện: x ∈ R [*]
Ta có: 4x2 − 6x − 16 > 16x + 2 ⇔ 4x2 − 6x − 16 > 42[x + 2]
Do cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình : x2 − 6x − 16 > 2[x + 2]
⇔ x2 − 8x − 20 > 0
x < −2 hoặc x > 10
Do đó, bất phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 32x+1 > 10
Đáp án: B
Điều kiện: x ∈ R [*]
Ta có: 32x+1 > 10 ⇔ 2x + 1 > log310
⇔ 2x > log310 − 1
Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2
Đáp án: A
Điều kiện: x ∈ R [*]
Bất phương trình: 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2
Quảng cáo
Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình
A. x ∈ [−∞; 5]. B. x ∈ [−∞; 5] C. x ∈ [−5; +∞] D. x ∈ [5; +∞]
Đáp án: A
Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ −1
Ta có:
Kết hợp với điều kiện
Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0 là
A. x ≤ log43. B. x > log43. C. x ≥ 1. D. x ≥ 3
Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ −1
Ta có: 16x − 4x − 6 ≤ 0 ⇔ 42x − 4x − 6 ≤ 0
Đặt t= 4x [ t > 0], khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
t2 − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3
Mà t > 0 nên 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log43
Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: A
Ta có:
Đặt t= 3x > 0, khi đó [ *] trở thành:
Ví dụ 10. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: A
Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: A
Ta có:
Đặt t=3x [t > 0 ] , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: C
Ta có:
Đặt t=2x [t > 0 ] , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
Ví dụ 13. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: A
Ta có:
Ví dụ 14. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: A
Đặt
Ví dụ 15. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: C
Đặt
Ví dụ 16. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: C
Ta có:
Ví dụ 17. Tập nghiệm của bất phương trình
Đáp án: C
Điều kiện: x ≥ 0
Đặt t = 2√x. Do x ≥ 0 => t ≥ 1
Ví dụ 18. Cho bất phương trình:
A. S = [−1; 0] ∪ [1; +∞] B. S = [−1; 0] ∩ [1; +∞]
C. S = [−∞; 0] D. S = [−∞; 0]
Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ ±1
Đặt t = 5x. BPT[1]
Đặt
Lập bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của BPT là S = [−1; 0] ∪ [1; +∞]
Ví dụ 19. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình
A. m ≤ 2. B. m ≥ 4. C. m ≤ 4. D. m ≥ 1
Đáp án: C
Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin2x > 0 , ta được
Xét hàm số
Ta có: 0 ≤ sin2x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4.
Ví dụ 20. Cho bất phương trình: 9x + [ m − 1].3x + m > 0 [1]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình [1] nghiệm đúng ∀x > 1 .
Đáp án: A
Đặt t = 3x [ t > 0] .Vì x > 1 nên t > 3.
Bất phương trình đã cho thành: t2 + [m − 1]t + m > 0 nghiệm đúng ∀t ≥ 3
nghiệm đúng ∀t > 3 .
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên [3; +∞] và
Yêu cầu bài toán tương đương
Ví dụ 21. Cho hàm số
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
Đáp án: B
Ta có:
Khi đó: f’[x] < g’[x] ⇔ 52x+1.ln 5 < [5x + 4].ln 5
⇔ 52x+1 < 5x +4 ⇔ 5.52x − 5x − 4 < 0
Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn đầu bài là x = −1.
Ví dụ 22. Gọi x0 là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình
Đáp án: C
Bất phương trình tương đương:
Do đó,nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình đã cho là x0 = 2.
Ví dụ 23. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 2 B. 4 C. 3 D. vô số.
Đáp án: B
Ta thấy: [3 − 2√2].[3 + 2√2] = 9 − 8 = 1 nên:
Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên .
Ví dụ 24. Cho bất phương trình
A. < 2 B. 1 C. 0 D. < 1
Đáp án: D
Ta có:
nên:
Do đó, nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình đã cho là 3 và −4. Suy ra, x1 + x2 = −1
Ví dụ 25. Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình: 9x − 2[m + 1].3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R
A. m = −1 B.m = −2 C. m = 0 D. m = −3
Đáp án: A
Đặt t= 3x ; [t > 0].
Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình:
t2 − 2[m + 1]t − 3 − 2m > 0 đúng với mọi m [*]
Cách 1:
Suy ra, số nguyên lớn nhất của m thỏa mãn là m = −1.
Cách 2:
Ví dụ 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4x − 2x − m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x
Đáp án: C
Đặt t =2x [ t > 0]. Khi đó bất phương trình có dạng: t2 < t < m ≥ 0
Ta có
BBT:
Khi đó:
Vậy
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
ham-so-luy-thua-ham-so-mu-va-ham-so-logarit.jsp