Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!
Tóm tắt lý thuyết
1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không gian vecto
S={e1 + e2 ,…,en } là cơ sở của không gian V nếu:
-
- S độc lập tuyến tính
- ∀ phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2+…+knen
Khi đó số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử
1.1Cơ sở chính tắc
- R3={a,b,c}
- [a,b,c]=a[1,0,0]+b[0,1,0]+c[0,0,1]
- S={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}
- dim Rn=n
- có 3 vecto
- P2={a+bx+cx2}
- S={1,x,x2}
- dim Pn=n+1
- có 3 vecto
1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không
S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:
- S độc lập tuyến tính
- dim V= số phần tử S
a. S={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}⊂R4
S có 3 phần tử mà dim R4 =4 => S không phải là cơ sở
b. S={[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]}⊂R3
số phần tử =dim R3 =3
Xét định thức:
=> phụ thuộc tuyến tính
=> S không là sơ sở
c.S={1+x,2-x+3x2,3x-x2}⊂P2
Số phần tử=dim P2 =3
Xét định thức:
=> độc lập tuyến tính
=> S là cơ sở
2.Toạ độ không gian vecto
3.Ma trận chuyển cơ sở S→T
Ma trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S
Ví dụ: Trong không gian R3 cho 2 hệ cơ sở
S={ u1[1,1,1], u2[1,0,2], u3[1,2,1]}
T={ v1[2,3,2], v2[-1,1,4], v3[2,1,3]}
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang T
Giải
Xét ma trận sau:
Giải hệ phương trình
ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1
Tương tự xét ma trận
Vậy ma trận cần tìm là
Bài tập cơ sở không gian vecto
1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng không
a. u1[1,2], u2[3,4], u3[5,6] đối với R2
-Không vì cơ sở R2 có 2 vecto
b. u1[1,2,3], u2[3,4,5], u3[4,5,6] đối với R3
-Có vì cơ sở R3 có 3 vecto
c. u1[2,1], u2[3,0] đối với R2
Số phần tử dim R2 =2
Xét ma trận bổ sung
det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở
Xem thêm:
Đại số và hình giải tích Bài 1: Số phức – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 2: Ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 3: Định thức ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 4: Ma trận nghịch đảo – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 5: Hạng của ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 6: Hệ phương trình tuyến tính- bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 7: Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 8: Cơ sở không gian vecto – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 9: Không gian vector con – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 10: Ánh xạ tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 11: Giá trị riêng, vector riêng – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 12: Dạng toàn phương – bài tập và lời giải
Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ
________________________________________________
1. Hệ sinh:
1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E[S]. S được gọi là hệ sinh của V nếu E[S] = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh.
Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều.
Do đó, nếu cho
Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu
1.2 Ví dụ:
1. Nếu
2. Đối với không gian vectơ
3. Tập các đơn thức
4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V.
1.3 Nhận xét:
Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn
Phương pháp 1:
Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số
.
Trong không gian vector
luôn có nghiệm với trong đó .
Phương pháp 2:
Nếu biết trước 1 hệ sinh
Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector là hệ sinh của không gian vector .
Giải:
Xét hệ phương trình
Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là:
1.4 Định lý: E[S] là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứa tập S.
1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E[S] khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính.
2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ:
2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ
Nếu tập được sắp thứ tự
Ví dụ:
Trong
khi đó vector
. Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = [1, 2, 3, 4].
Mặt khác, trong
thì khi đó vector
. Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = [-2, -1, 3, 3].
2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.
2.3 Ví dụ:
- Các vectơ
- Các ma trận
- Trong không gian vectơ các ma trận
-
2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện sau tương đương:
i] S là cơ sở của V;
ii] Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S;
iii] S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các điều kiện trên tương đương với: iv] S là một hệ sinh có đúng n phần tử;
v] S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử;
vi] S có đúng n phần tử và ma trận các cột [dòng] là các vectơ tọa độ của các phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không.
2.5 Nhận xét:
Đối với không gian hữu hạn chiều [giả sử dim V = n ] thì để chứng minh một hệ vector gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là độc lập tuyến tính.
2.6 Hệ quả 1:
i] Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.
ii] Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở.
2.7 Hệ quả 2:
i] Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn.
ii] Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.
2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ trong không gian vectơ V. Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của là một hằng số [không phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ ]. Hằng số này được gọi là hạng của hệ vectơ . Ta ký hiệu hạng của hệ là .
2.9 Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng [cột] là các tọa độ của các vectơ
.
Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó.
Ví dụ:
Xét hệ vector
= 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector
3. Không gian hữu hạn chiều:
3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ sở của V có n vectơ.
3.2 Tính chất:
Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó:
-
Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. -
Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V. -
Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V. -
Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lập thành một cơ sở của V.
Chú ý: Từ tính chất [b] và [c] ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh.
3.2.trong các trường hợp sau đây, xét xem W có phải là không gian con của không gian vectơ R3
a] W =
b]W =
C]w =
Bài giải
-
Với u = [1,2,3] uW , Ta có -3u = [-3,-6, -9]W[ Vì -3≤ 0]
Do đó W không là không gian con của R3
b] ta có 0 = [0,0,0]
với mọi u = [ x1,x2,x3]
và v = [y1, y2,y3 ]
suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2[x2 + y2]
ta có u + v = [x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ] = [x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2[x2 + y2] ]
vậy u + v
mặt khác, ta lại có
với mọi
= [
vậy
Từ [1] và [2] ta suy ra W≤ R
c] ta có 0 = [0,0,0]
với mọi u = [ x1,x2,x3]
và v = [y1, y2,y3 ]
ta có u + v = [0,0,x3 + y3]
vậy u + v
mặt khác ta lại có với mọi
vậy
Từ [1] và [2] ta suy ra W≤ R
3.7trong không gian R4 cho các tập
W1 = {[ x1,x2,x3,x4]
W2 = {[ x1,x2,x3,x4]
W3 = {[ x1,x2,x3,x4]
a]Chứng minh W1, W2, W3 là các không gian con của R4
b] tìm một cơ sở của W1, W2, W3
bài giải
a]
-
Xét W1. Ta có 0 =[0,0,0,0]W1 [ vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0]
Suy ra W1
Từ để bài ta có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0
với mọi u = [ x1,x2,x3,x4]
và v = [y1,y2,y3,y4]
ta có u + v = [ x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4]
vì [x1+y1] + [x2+y2] – [x3+y3] = [x1 + x2 –x3] + [y1 + y2 –y3] = 0 + 0 = 0
và [x1+y1] – [x2+y2] + [x3+y3] -2[x4+y4] = [x1–x2+x3–2x4] + [y1-y2+y3-2y4]
= 0+0 = 0
Do đó u+v
Mặt khác với mọi
Vì αx1 + αx2 – αx3 = α[x1 + x2 – x3 ] = α.0 = 0 và
αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α[x1 – x2 +x3 -2x4] = α.0 = 0
do đó αu
Từ [1] và [2] ta suy ra W1≤ R
-
Xét W2 ta có
Với mọi nghĩa là x1 = x2 =x3 [1]
Và v =
Ta có u + v = [x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4]
Từ [1] và [2] ta có x1+y1 = x2+y2 = x3+y3
Do đó
Mặt khác với mọi
Do đó
Từ [3] và [4] suy ra W2 ≤R
-
Xét W3 dễ thấy
Với mọi nghĩa là u = [0,0,x3, x4]
Và
Ta có u+v = [0,0, x3+y3,x4+y4]
Do đó
Mặt khác với mọi
Do đó
Từ [1] và [2] suy ra W3 ≤R
b]
-
Tìm một cơ sở của W1
Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 nên
[x1,x2,x3,x4] = [ x1,x2, x1+x2,
=[x1,0,x1,x1] + [0,x2,x2,0] = x1[1,0,1,1] + x2[0,1,1,0]
Vậy 2 vecto u = [1,0,1,1] và v = [01,1,0] là tập sinh của W1
Xét ma trận A =
Suy ra u và v độc lập tuyến tính
Vậy u và v là một cơ sở của W1
-
Tìm một cơ sở của W2
Ta có x1 = x2 = x3 nên
[x1,x2,x3,x4] = [x1,x1,x1,x4] = [x1,x1,x1,0] + [0,0,0,x4]
= x1[1,1,1,0] + x4[0,0,0,1]
Vậy 2 vectơ u = [1,1,1,0] và v = [0,0,0,1] là tập sinh của W2
Xét ma trận A =
Suy ra u và v độc lập tuyến tính
Vậy B =
-
Tìm một cơ sở của W3
Ta có x1 = x2 = 0 nên
[x1,x2,x3,x4] = [0,0,x3,x4] = [0,0,x3,0] + [0,0,0,x4]
= x3[0,0,1,0] + x4[0,0,0,1]
Vậy 2 vectơ u = [0,0,1,0] và v =[0,0,0,1] là tập sinh của W3
Xét ma trận A =
Suy ra u và v độc lập tuyến tính
Vậy B =
3.10
a] chứng minh B là cơ sở của R3
Lập A =
Ta có detA = 1 Suy ra B độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của B bằng 3 = dimR3 nên B là cơ sở của R3
Chứng minh E là cơ sở của R3
Lập A =
Ta có detA = -3 suy ra E độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của E bằng 3 = dimR3 Nên E là cơ sở của R3
b]
-
tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
Lâp ma trận mở rộng
[v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T] →
Vậy P[B→E] =
-
Cho u = [1,2,3] tìm
Lập ma trận mở rộng [v1T,v2T,v3T│uT] →
Vậy
Lập ma trân mở rộng [u1T,u2T,u3T│uT] =
Vậy
b]
-
Tìm P[E→ B]
Ta có P[E → B] =
-
Chotìm v
Ta có
= [5,5,8]
-
Tìm
Lập ma trận mở rộng
[u1T,u2T,u3T│vT ] =
Vậy
Tài liệu tham khảo
-
Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh -
Bài tâp toán cao cấp - tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội -
Chuơng 4: không gian vectơ - //linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4-Khong+gian+vector.doc -
Bài giảng toán cao cấp A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm Thành Phố Hồ Chí Minh
Каталог: file -> downloadfile2 -> 200
200 -> Tin họC Ứng dụng trong cnshmt mục tiêu
downloadfile2 -> Đề tài: Chính Sách ngoại Giao giai đoạn 1954-1964 Chính sách ngoại giao trong giai đoạn 1954 1964 Mở bài
downloadfile2 -> Đánh giá tiềm năng thực hiện sản xuất sạch hơn tại cơ sở chế biến gỗ Huyện Lê
downloadfile2 -> Tình bạn vĩ đại và xúc động của Các Mác và Ph.Ăng ghen TÌnh bạn vĩ ĐẠi và CẢM ĐỘng của các mác và ph.ĂNg ghen
downloadfile2 -> Gvhd: Ts Huỳnh Trọng Dương
downloadfile2 -> TrưỜng đẠi học nông lâm thành phố
downloadfile2 -> 1. Nguồn gốc hình thành tư tưởng Hồ Chí Minh
downloadfile2 -> Báo cáO ĐỀ TÀi táC ĐỘng của môi trưỜNG
downloadfile2 -> ĐỀ TÀi tiểu luận môn kinh tế HỌc mac lê nin
200 -> []
tải về 466.5 Kb.
Chia sẻ với bạn bè của bạn: