Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin x m 1 có nghiệm
Câu 41679 Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để phương trình $\sin x\cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm?
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
- Đặt \[t = \sin x + \cos x\] đưa phương trình về ẩn \[t\]
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \[t\] thỏa mãn điều kiện.
Ôn tập chương 1 --- Xem chi tiết
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [m ] thuộc đoạn [[ [ - 10;10] ] ] để phương trình [11[sin ^2]x + [ [m - 2] ]sin 2x + 3[cos ^2]x = 2 ] có nghiệm?
Câu 41674 Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] thuộc đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\] để phương trình \[11{\sin ^2}x + \left[ {m - 2} \right]\sin 2x + 3{\cos ^2}x = 2\] có nghiệm?
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
Biến đổi phương trình về phương trình thuần nhất đối với \[\sin 2x,\cos 2x\] và sử dụng điều kiện có nghiệm của nó.
Ôn tập chương 1 --- Xem chi tiết
Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
Trang trước
Trang sau
Quảng cáo
Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng [0; 3000]
A. 954
B.955
C. 956
D. 957
Lời giải
Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0
⇒ 4. sinx.cos+ 4cosx= 0
⇒ 4cosx. [ sinx+ 1] = 0
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.
⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng [0;3000]
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc [0; 2000].
A.624
B. 652
C. 645
D. 636
Lời giải
Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0
⇒ [ 2sinx+ 2cosx] – [cos2 x – sin2 x]= 0
⇒ 2[sinx + cosx] - [ cosx- sinx] . [ cosx+ sinx]= 0
⇒ [ sinx+ cosx]. [ 2- cosx + sinx] = 0
Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng [0; 2000]
Chọn D.
Quảng cáo
Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. [2sin2x+ 1] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng[ 10; 1000] ?
A. 1207
B. 1260
C.1261
D. 1208
Lời giải.
Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x
⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0
⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0
⇒ 2cos 4x.[cos2x – sin2x] = 0
⇒ 12,23 < k < 1272,8
Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}
⇒ có 1260 số thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ 4. Phương trình
A. 3025
B. 3026
C. 3027
D. Tất cả sai
Lời giải.
Điều kiện: [ 1+2cosx].sinx ≠ 0
Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:
[ 1- 2cosx].[ 1+ cosx] = [ 1+ 2cosx]. sinx
⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx
⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0
⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}
⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Phương trình
A. 1
B. 2
C.3
D. 4
Lời giải.
Vì x nguyên dương nên [3k- 2]∈Ư [98]={1;2; 7;14;49;98}
Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.
+ k= 1 ⇒ x= 12
+ k= 3 ⇒ x = 4
+ k= 17 ⇒ x = 12
⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ 6. Phương trình:
A.4033
B. 4032
C. 4035
D. 4036
Lời giải.
⇒ [ 1- cos2x]2 + [cosx- sinx]4=1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [ cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx]2= 1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [1- sin2x]2 - 1= 0
⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0
⇒ [cos22x + sin22x ] +1 – 2.[cos2x+ sin2x]= 0
⇒ 2- 2[cos2x + sin2x] = 0
⇒ cos2x + sin2x = 1
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm
Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.
Chọn A.
Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Lời giải
Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx
⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx
⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. [tan 4x. tan2x + 1]
Chọn B.
Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình
A. π/4
B. π/3
C. π
D.Đáp án khác
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: tan 3x + cot[π/2+x]=0
⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx
⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ
⇒ x= kπ/2 [ không thỏa mãn điều kiện ]
Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin[cosx] = 0 trên khoảng [0; 4π] ?
A. 2
B.3
C. 4
D. 5
Lời giải
Ta có: sin[cosx]=0
⇒ cosx = kπ [*]
Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ [*] suy ra: k= 0
Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.
⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng [0; 4π]
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + [3- 2m]cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng
A. 1 < m < 2
B. 2 < m ≤ 3
C. 1 < m ≤ 2
D. 2 < m < 3
Lời giải.
Chọn C.
Câu 1:Cho phương trình: [cos4 x- sin4 x].[ 2cos2x+5] – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng [ π;4π]
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Ta có: [cos4 x- sin4 x].[2cos2x+ 5] – 3 = 0.
⇒ [ cos2 x- sin2 x].[ cos2 x+ sin2x] .[ 2cos 2x + 5] – 3= 0
⇒ cos2x.1.[ 2cos 2x + 5] - 3= 0
⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0
⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.
Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc [π;4π]
Chọn C.
Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình
A.3
B.4
C.5
D. 6
Chọn B.
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên [0; 2π]?
A. 2
B.4
C.3
D.5
⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.
Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.
Chọn C.
Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình
A. 6
B .7
C. 8
D. 9
Điều kiện: cosx ≠ -√3/2
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0
⇒ [ sin2x – cosx] + [2sin2x – 5sinx + 2] =0
⇒ [2sinx. cosx – cosx] + [ 2sin2x – 5sinx + 2] = 0
⇒ cosx.[ 2sinx- 1] + [ sinx- 2]. [ 2sinx – 1]= 0
⇒ [ 2sinx – 1]. [cosx + sinx- 2] = 0
Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]
Chọn C.
Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.[tan2 x – cos2x]= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng [0; 6π] ?
A. 9
B. 8
C. 10
D.11
+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1
⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π
⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng [0; 6π] là 9 nghiệm.
Chọn A.
Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc [0; 3π/2]. Số các phần tử của tập S là:
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0
⇒ m.[ sin2 x- 1] - 3sinx. cosx – 1=0
⇒ - m.cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0
⇒ m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0
+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.
Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 [*]
Đặt t= tanx; phương trình [*] trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0
Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc [0; 3π/2] khi và chỉ khi phương trình [*] có hai nghiệm trái dấu
⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1
Mà m nguyên và m∈ [ -4;7]
⇒ m∈{ -4; -3; -2}.
⇒ Tập S có 3 phần tử.
Chọn B.
Câu 7:Cho phương trình: [ cosx+ 1].[4cos 2x – m.cosx]= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: [cosx+ 1]. [4cos2x – m.cosx] = m.sin2x
⇒ [ cosx+ 1].[ 4cos2x – m. cosx] = m.[1- cos2 x]
⇒ [cosx+ 1] . [ 4cos2x- m. cosx] – m.[ 1- cosx].[ 1+ cosx] =0
⇒ [ cosx+ 1][ 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx]= 0
⇒ [cosx+ 1]. [ 4cos 2x – m] = 0
Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: [sinx-1].[2cos2x- [ 2m+1].cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]
A . 1
B. 2
C .3
D .4
Ta có: [sinx- 1].[2cos2 x – [2m+ 1].cosx + m] = 0
⇒ [sinx -1]. [ 2cosx- 1].[ cosx – m] = 0
Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – [5m+ 1].sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng
A. m0= - 2
B. m0= 1
C.
D.
Đặt t= sinx [ - 1 ≤ t ≤ 1] .
Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – [5m+1].t + 2m2 + 2m=0 [* ]
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: $3\sin x + m - 1 = 0$ có nghiệm?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: \[3\sin x + m - 1 = 0\] có nghiệm?
A. 7.
B. 6.
C. 3.
D. 5.