Đề bài
Tìm giá trị của tham số \[m\] để hàm số \[y = [m - 1]{x^4} - m{x^2} + 3\] có đúng một cực trị.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính \[y'\].
- Điều kiện để hàm số đã cho có đúng một cực trị là phương trình \[y' = 0\] có nghiệm duy nhất \[x = 0\].
Lời giải chi tiết
+] Với \[m = 1\] thì \[y = - {x^2} + 3\] là hàm đa thức bậc hai luôn có một cực trị nên thỏa mãn.
+] Với \[m \ne 1\] thì hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương có:
\[y' = 4[m - 1]{x^3} - 2mx\]\[ = 2x\left[ {2[m - 1]{x^2} - m} \right]\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left[ {m - 1} \right]{x^2} - m = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{m}{{2\left[ {m - 1} \right]}}\,\,\left[ 1 \right]\end{array} \right.\]
Hàm số có đúng một cực trị khi \[y' = 0\] có đúng một nghiệm, tức là:
Phương trình \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm duy nhất \[x = 0\] hoặc vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\dfrac{m}{{2\left[ {m - 1} \right]}} < 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 1\].
Kết hợp với \[m = 1\] ở trên ta được \[0 \le m \le 1\].
Vậy với \[0 \le m \le 1\] hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.