Đề bài
Rút gọn
a] \[\dfrac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {\dfrac{{3{{\left[ {x + y} \right]}^2}}}{2}} \] với \[x \ge 0;\,\,y \ge 0;\,\,x \ne y\] .
b] \[\dfrac{2}{{2a - 1}}\sqrt {5{a^2}\left[ {1 - 4a + 4{a^2}} \right]} \] với \[a > 0,5. \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi rút gọn các căn thức đồng dạng
\[p\sqrt A + q\sqrt A - r\sqrt A = \left[ {p + q - r} \right]\sqrt A \]
Lời giải chi tiết
a] \[\dfrac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {\dfrac{{3{{\left[ {x + y} \right]}^2}}}{2}} \]\[ = \dfrac{{2\left| {x + y} \right|}}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {\dfrac{3}{2}} \]\[ = \dfrac{{x + y}}{{\left[ {x + y} \right]\left[ {x - y} \right]}}\sqrt {\dfrac{{{2^2}.3}}{2}} \] \[ = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{x - y}}\] [vì \[x + y > 0\] nên \[\left| {x + y} \right| = x + y\]]
b] \[\dfrac{2}{{2a - 1}}\sqrt {5{a^2}\left[ {1 - 4a + 4{a^2}} \right]} \]\[ = \dfrac{{2\left| a \right|}}{{2a - 1}}\sqrt {5{{\left[ {1 - 2a} \right]}^2}} \] \[ = \dfrac{{2\left| a \right|.\left| {1 - 2a} \right|}}{{2a - 1}} \cdot \sqrt 5 \] \[ = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{{2a - 1}}a\left[ {2a - 1} \right]\] \[ = 2\sqrt 5 a\]
Bài ra cho \[a > \dfrac{1}{2}\] nên \[1 - 2a < 0\]
Suy ra \[\left| {1 - 2a} \right| = - \left[ {1 - 2a} \right] = 2a - 1\].
Vì \[a > \dfrac{1}{2}\] nên \[\left| a \right| = a\]
Vậy, rút gọn tiếp , ta có
\[\dfrac{{2\left| a \right|.\left| {1 - 2a} \right|}}{{2a - 1}} \cdot \sqrt 5 \] \[ = \dfrac{{2a\left[ {2a - 1} \right] \cdot \sqrt 5 }}{{2a - 1}}\] \[ = 2\sqrt 5 a\]