Đề bài
Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Trên tia \[AG\] lấy điểm \[G\] sao cho \[G\] là trung điểm của \[AG\].
a] So sánh các cạnh của tam giác \[BGG\] với các đường trung tuyến của tam giác \[ABC.\]
b] So sánh các đường trung tuyến của tam giác \[BGG\] với các cạnh của tam giác \[ABC.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
a] So sánh các cạnh của \[BGG\] với các đường trung tuyến của \[ABC.\]
Gọi \[M, N, E\] lần lượt là trung điểm của \[BC, CA, AB.\]
\[G\] là trọng tâm của \[ABC\]
\[ \Rightarrow GA =\dfrac{2}{3}AM\]
Mà \[GA = GG\] [\[G\] là trung điểm của \[AG\]]
\[ \Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3}AM\]
- Vì \[G\] là trọng tâm của \[ABC\] \[ \Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BN\]
- Ta có:
\[GM =\dfrac{1}{2}AG\] [do \[G\] là trọng tâm] và \[AG = GG'\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow GM = \dfrac{1}{2}GG'\], do đó \[MG=MG'.\]
Xét \[GMC\] và \[GMB\] có:
+] \[GM = MG'\] [chứng minh trên]
+] \[MB = MC\] [\[M\] là trung điểm của \[BC\]]
+] \[ {\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}} \] [hai góc đối đỉnh]
Vậy \[ GMC=GMB\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow BG' = CG\] [Hai cạnh tương ứng]
Mà \[CG =\dfrac{2}{3} CE\] [\[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]]
\[\Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3}CE\]
Vậy\[GG' = \dfrac{2}{3}AM,GB = \dfrac{2}{3}BN,G'B = \dfrac{2}{3}CE\]
Hay mỗi cạnh của \[BGG\] bằng \[\dfrac{2}{3}\] đường trung tuyến của \[ABC.\]
b] So sánh các đường trung tuyến của \[BGG\] với các cạnh của \[ABC.\]
- Ta có: \[BM\] là đường trung tuyến \[BGG\]
Mà \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[BM = \dfrac{1}{2}BC\].
Gọi\[I\] là trung điểm \[BG\]
Vì \[IG = \dfrac{1}{2}BG\] [do \[I\] là trung điểm \[BG\]]
\[GN = \dfrac{1}{2}BG\] [\[G\] là trọng tâm]
\[\Rightarrow IG = GN\]
Xét \[IGG\] và \[NGA\] có:
+] \[IG = GN\] [chứng minh trên]
+] \[GG' = GA\] [giả thiết]
+] \[\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}\] [hai góc đối đỉnh]
Vậy \[IGG = NGA\] [c.g.c]
\[\Rightarrow IG' = AN\] [hai cạnh tương ứng]
\[\Rightarrow IG' = \dfrac{{AC}}{2}\]
- Gọi \[K\] là trung điểm \[BG'\] \[\Rightarrow GK\] là trung tuyến của \[BGG\]
Vì \[GE = \dfrac{1}{2}GC\] [\[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]]
\[BG' = GC\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow GE =\dfrac{1}{2}BG'\]
Mà \[K\] là trung điểm \[BG\] \[\Rightarrow KG = EG\]
Vì \[GMC = GMB\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow\] \[\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\] [hai góc tương ứng]
\[\Rightarrow CE // BG\] \[\Rightarrow\] \[\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\] [đồng vị]
Xét \[AGE\] và \[GGK\] có:
+] \[EG = KG\] [chứng minh trên]
+] \[AG = GG'\] [giả thiết]
+] \[\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\] [chứng minh trên]
Vậy \[AGE = GGK\] [c.g.c]
\[\Rightarrow AE = GK\]
Mà \[AE = \dfrac{1}{2}AB\]
\[\Rightarrow GK = \dfrac{1}{2}AB\]
Vậy\[BM = \dfrac{1}{2}BC,G'I = \dfrac{1}{2}AC,GK = \dfrac{1}{2}AB\]
Hay mỗi đường trung tuyến của \[BGG\] bằng một nửa cạnh của tam giác \[ABC\].