Đề bài - bài 41 trang 73 sgk toán 7 tập 2

Đề bài

Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Giả sử \(ABC\) đều có trọng tâm \(G\). Các điểm \(E, N, M\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, AC.\)

\( \Rightarrow GA = \dfrac{2}{3}AN\); \(GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}EC\).

Vì \(ABC\) đều nên ba trung tuyến \(AN, BM, CE\) bằng nhau (áp dụng chứng minh bài 29 trang 67 SGK toán 7 tập 2)

\( \Rightarrow GA = GB = GC\)

Xét \(AMG\) và \(CMG\) ta có:

+) \(GA = GC\) (chứng minh trên)

+) \(AM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AC\))

+) Cạnh \(MG\) chung

Vậy \(AMG =CMG\) (c.c.c)

\( \Rightarrow\)\(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)

Mà\(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (\(2\) góc kề bù)

\( \Rightarrow\)\(\widehat{AMG} = 90^o\)

\( \Rightarrow GM AC\) tức là \(GM\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AC\).

Chứng minh tương tự \(GE, GN\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AB, BC.\)

Mà \(GM =\dfrac{1}{3}BM\); \(GN = \dfrac{1}{3}AN\); \(GE = \dfrac{1}{3}EC\).

Và \(AN = BM = EC\) nên \(GM = GN = GE.\)

Hay \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC.\)