Đề bài
Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol \[y = {{{a^2}} \over x}\]lập thành với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Lời giải chi tiết
\[\displaystyle y = {{{a^2}} \over x} \Rightarrow y'\left[ {{x_0}} \right] = - {{{a^2}} \over {x_0^2}}.\]
Phương trình tiếp tuyến tại \[\displaystyle M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\]là
\[\displaystyle \eqalign{
& y - {{{a^2}} \over {{x_0}}} = - {{{a^2}} \over {x_0^2}}\left[ {x - {x_0}} \right] \cr
& \Leftrightarrow y = - {{{a^2}x} \over {x_0^2}} + {{2{a^2}} \over {{x_0}}}. \cr} \]
Cho \[\displaystyle x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}\] \[\displaystyle \Rightarrow A\left[ {0;\dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right]\]
Cho \[\displaystyle y = 0 \Rightarrow - \dfrac{{{a^2}x}}{{x_0^2}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}x}}{{x_0^2}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {a^2}x = 2{a^2}{x_0}\] \[\displaystyle \Leftrightarrow x = 2{x_0}\] \[\displaystyle \Rightarrow B\left[ {2{x_0};0} \right]\]
Suy ra diện tích tam giác OAB là
\[\displaystyle S = {1 \over 2}.\left| {{{2{a^2}} \over {{x_0}}}} \right|.2\left| {{x_0}} \right| = 2{a^2} = const.\]