Đề bài
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a. \[3{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 4 \le 0\]
b. \[\dfrac{{\left[ {2{\rm{x}} + 3} \right]\left[ {4 - x - 3{{\rm{x}}^2}} \right]}}{{{x^2} - 9}} \ge 0\]
c. \[\dfrac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 3}}{{3 - 2{\rm{x}}}} < 1 - x\]
d. \[\sqrt {{x^2} - 2{\rm{x}} - 15} \le x - 3\]
Câu 2.Tìm tham số m để hàm số sau có tập xác định là tập số thực \[\mathbb{R}\].
\[y = \sqrt {\left[ {{m^2} + 4} \right]{x^2} - 2\left[ {2m - 1} \right]x + 4} \]
Câu 3.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh là \[\left[ {AB} \right]:2{\rm{x}} - 3y + 7 = 0;\]\[\left[ {BC} \right]:2{\rm{x}} - y + 1 = 0;\]\[\left[ {AC} \right]:x - y + 3 = 0\].
a. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác.
b. Viết phương trình đường cao AK. [K thuộc cạnh BC].
c. Tìm tọa độ điểm A là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng BC.
d. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai cạnh BC và AC.
Lời giải chi tiết
Câu 1. [VD]
Phương pháp:
Phân tích thành nhân tử. Sử dụng bảng xét dấu.
Giải:
a. \[3{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 4 \le 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {3{\rm{x}} - 4} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le \dfrac{4}{3}\end{array}\]
b. \[\dfrac{{\left[ {2{\rm{x}} + 3} \right]\left[ {4 - x - 3{{\rm{x}}^2}} \right]}}{{{x^2} - 9}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {2{\rm{x}} + 3} \right]\left[ {1 - x} \right]\left[ {4 + 3{\rm{x}}} \right]}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 3} \right]}} \ge 0\]
Bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta có:
\[{\rm{S}} = \left[ { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{4}{3}} \right]\cup\left[ {1;3} \right]\]
c. \[\dfrac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 3}}{{3 - 2{\rm{x}}}} < 1 - x\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{3 - 2{\rm{x}}}} + \left[ {x - 1} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {\dfrac{{x - 3}}{{3 - 2{\rm{x}}}} + 1} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {\dfrac{{x - 3 + 3 - 2{\rm{x}}}}{{3 - 2{\rm{x}}}}} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right].\dfrac{{ - x}}{{3 - 2{\rm{x}}}} < 0\end{array}\]
Từ bảng xét dấu ta có \[{\rm{S}} = \left[ { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1;\dfrac{3}{2}} \right]\]
d.\[\sqrt {{x^2} - 2{\rm{x}} - 15} \le x - 3\]. Điều kiện \[\left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} \ge 5\\x \le - 3\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{x^2} - 2{\rm{x}} - 15 \le {x^2} - 6{\rm{x}} + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\4{\rm{x}} \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 6\end{array} \right.\end{array}\]
Kết hợp với điều kiện xác định ta được \[5 \le x \le 6\].
Câu 2.[VD]
Phương pháp:
\[\sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định khi \[f\left[ x \right] \ge 0\]
\[\begin{array}{l}a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\end{array}\]
Giải
Hàm số \[y = \sqrt {\left[ {{m^2} + 4} \right]{x^2} - 2\left[ {2m - 1} \right]x + 4} \] xác định trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi \[\left[ {{m^2} + 4} \right]{x^2} - 2\left[ {2m - 1} \right]x + 4 \ge 0\]\[\forall x \in \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\left[ {2m - 1} \right]^2} - \left[ {{m^2} + 4} \right].4 \le 0\\ \Leftrightarrow - 4m + 1 - 16 \le 0\\ \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{15}}{4}\end{array}\]
Câu 3.[VD]
Phương pháp:
a. Tìm giao điểm của các đường thẳng AB, BC, CA.
b. Tìm vectơ \[\overrightarrow {BC} \]. Đường thẳng AK qua điểm A và nhận \[\overrightarrow {BC} \] làm vectơ pháp tuyến.
c. Tìm điểm K và K là trung điểm của AA.
d. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh BC và AC là đường phân giác của góc \[\widehat {ACB}\].
Lời giải:
a. Tọa độ giao điểm A của AB và AC là nghiệm của hệ phương trình
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y + 7 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow A\left[ { - 2;1} \right]\end{array}\]
Điểm B: \[\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y + 7 = 0\\2{\rm{x}} - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\]
Điểm C: \[\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - y + 1 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\]
Vậy \[A\left[ { - 2;1} \right];B\left[ {1;3} \right]C\left[ {2;5} \right]\]
b. \[\overrightarrow {BC} = \left[ {1;2} \right]\]
AK qua điểm A và nhận \[\overrightarrow {BC} \] làm vectơ pháp tuyến: \[1\left[ {x + 2} \right] + 2\left[ {y - 1} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow x + 2y = 0\]
c. Điểm K là giao của AK và BC nên \[K\left[ { - \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right]\]
Điểm A đối xứng với A qua BC nên A thuộc đường thẳng AK và K là trung điểm của AA. Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{{\rm{x}}_K}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_K}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left[ {\dfrac{{16}}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right]\]
d. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh BC và AC là đường phân giác của góc \[\widehat {ACB}\]. Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng BC và AC là
\[\dfrac{{2{\rm{x}} - y + 1}}{{\sqrt 5 }} = \pm \dfrac{{x - y + 3}}{{\sqrt 2 }}\]
Xét \[\dfrac{{2{\rm{x}} - y + 1}}{{\sqrt 5 }} - \dfrac{{x - y + 3}}{{\sqrt 2 }} = 0\] ta có \[\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt 5 }}.\left[ { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] > 0\] nên A và B cùng phía so với đường thẳng. Vậy đường phân giác của góc \[\widehat {ACB}\] là \[\dfrac{{2{\rm{x}} - y + 1}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{x - y + 3}}{{\sqrt 2 }} = 0\]