Đề bài
I. TRẮC NGHIỆM [3 điểm]
Học sinh chọn một phương án đúng nhất ở mỗi câu và viết phương án chọn vào bài làm:
Câu 1: Tìm x để biểu thức \[\dfrac{1}{{\sqrt {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}} }}\] có nghĩa.
A. \[x \ge 2\] B. \[x > 2\]
C. \[x \ne - 2\] D. \[x \ne 2\]
Câu 2: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?
A. \[y = ax + b\]
B. \[y = 1 - 2x\]
C. \[y = {x^2} + 1\]
D. \[y = \dfrac{1}{x}\]
Câu 3: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình \[x + 2y = - 1?\]
A. \[\left[ {1; - 1} \right]\]
B. \[\left[ { - 1;\;0} \right]\]
C. \[\left[ {0;\;\dfrac{1}{2}} \right]\]
D. \[\left[ {3; - 2} \right]\]
Câu 4: Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 3\\y = x + 5\end{array} \right.\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 3\\y = 2x + 1\end{array} \right.\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 3\\y = 4x - 6\end{array} \right.\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 3\\y = - x + 3\end{array} \right.\]
Câu 5: Cho hàm số \[y = a{x^2}\;\;\left[ {a > 0} \right].\] Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến với mọi \[x.\]
B. Hàm số nghịch biến với mọi \[x.\]
C. Hàm số đồng biến khi \[x > 0.\]
D. Hàm số nghịch biến khi \[x > 0.\]
Câu 6: Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt?
A. \[{x^2} + 3x - 4 = 0.\]
B. \[{x^2} + 2x + 1 = 0\]
C. \[{x^2} + x + 1 = 0\]
D. \[{x^2} + 1 = 0\]
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 2, HC = 4. Đặt BH = x. Tính x.
A. \[x = \dfrac{1}{2}\] B. \[x = 1\]
C. \[x = \dfrac{{16}}{3}\] D. \[x = 4\]
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. \[\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\]
B. \[\tan \widehat {BAH} = \dfrac{{BH}}{{AH}}\]
C. \[\cos C = \dfrac{{HC}}{{AC}}\]
D. \[\cot \widehat {HAC} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\]
Câu 9: Tính chu vi C của tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng \[\sqrt 3 cm.\]
A. \[C = 9cm\]
B. \[C = 9\sqrt 3 cm\]
C. \[18cm\]
D. \[18\sqrt 3 cm\]
Câu 10: Cho đường tròn tâm O đường kính 10cm. Gọi H là trung điểm của dây AB. Tính độ dài đoạn OH, biết AB = 6cm.
A. \[OH = 4cm\]
B. \[OH = 8cm\]
C. \[OH = 16cm\]
D. \[OH = 64cm\]
Câu 11 [VD]: Cho đường tròn \[\left[ {O;\;6cm} \right]\] và đường tròn \[\left[ {O';\;5cm} \right]\] có đoạn nối tâm \[OO' = 8cm.\] Biết đường tròn \[\left[ O \right]\] và \[\left[ {O'} \right]\] cắt \[OO'\] lần lượt tại \[N,\;M.\] Tính độ dài \[MN.\]
A. \[MN = 4cm\]
B. \[MN = 3cm\]
C. \[MN = 2cm\]
D. \[MN = 1cm\]
Câu 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. \[\widehat {ADC} = \widehat {CBA}\]
B. \[\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\]
C. \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = {180^0}\]
D. \[\widehat {DAB} + \widehat {DCB} = {180^0}\]
II. TỰ LUẬN [7 ĐIỂM]
Câu 13 [1,50 điểm]
a] So sánh 5 và \[2\sqrt 6 \]
b] Giải phương trình \[{x^4} - 4{x^2} - 5 = 0\]
Câu 14 [1,50 điểm]
Cho phương trình \[4{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + {m^2} = 0\,\] [m là tham số]
a] Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?
b] Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.
Câu 15 [2,00 điểm]
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút. Hỏi nếu mở từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể.
Câu 16 [2,00 điểm]
Cho đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, C là điểm chuyển động trên đường thẳng d. BC cắt [O] tại D \[\left[ {D \ne B} \right]\]. Gọi E là trung điểm của BD.
a] Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.
b] Chứng minh rằng \[BE.BC = 2{R^2}\]
c] Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Biểu thức \[\dfrac{1}{{\sqrt {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}} }}\] có nghĩa \[ \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} > 0 \Leftrightarrow x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\]
Chọn D.
Câu 2:
Theo khái niệm hàm số thì đáp án B đúng.
Chọn B.
Câu 3:
Đáp án A: \[1 + 2.\left[ { - 1} \right] = - 1 \Rightarrow \] A thỏa mãn.
Đáp án B: \[ - 1 + 2.0 = - 1 \Rightarrow \] B thỏa mãn.
Đáp án C: \[0 + 2.\dfrac{1}{2} = 1 \ne - 1 \Rightarrow \] C không thỏa mãn.
Chọn C.
Câu 4:
Nhìn vào các đáp án trên chỉ có đáp án B có \[\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2} = 2\\{b_1} = - 3 \ne 1 = {b_2}\end{array} \right. \Rightarrow \] hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 3\\y = 2x + 1\end{array} \right.\] vô nghiệm.
Chọn B
Câu 5:
Xét hàm số \[y = a{x^2}\] có:
+] Với \[a > 0\] thì hàm số đồng biến khi \[x > 0\] và nghịch biến khi \[x < 0.\]
Chọn C.
Câu 6:
+] Đáp án A có: \[\Delta = {3^2} + 4.4 = 9 + 16 = 25 > 0 \Rightarrow \] phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Chọn A.
Câu 7:
Ta có: \[A{H^2} = BH.HC \Leftrightarrow {2^2} = x.4 \Leftrightarrow x = 1.\]
Chọn B.
Câu 8:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A.\[\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\] B. \[\tan \widehat {BAH} = \dfrac{{BH}}{{AH}}\]
C.\[\cos C = \dfrac{{HC}}{{AC}}\] D. \[\cot \widehat {HAC} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\]
Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] có: \[\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow \] đáp án A đúng.
\[\tan \widehat {BAH} = \dfrac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow \] đáp án B đúng.
Xét tam giác \[AHC\] vuông tại \[H\] có: \[\cos C = \dfrac{{HC}}{{AC}} \Rightarrow \] đáp án C đúng.
\[\cot \widehat {HAC} = \dfrac{{AH}}{{HC}} \Rightarrow \] đáp án D sai.
Chọn D.
Câu 9:
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC.\]
Khi đó O cũng là trọng tâm tam giác ABC.
\[ \Rightarrow OH = \dfrac{1}{3}BH\] [tính chất đường trung tuyến trong tam giác].
\[ \Rightarrow BH = 3OH = 3r = 3\sqrt 3 cm.\]
Áp dụng định lý Pi-ta-go đối với tam giác vuông \[BHC\] vuông tại \[H\] ta có:
\[\begin{array}{l}\;\;\;\;B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = B{H^2} + {\left[ {\dfrac{{BC}}{2}} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}B{C^2} = {\left[ {3\sqrt 3 } \right]^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 36\\ \Leftrightarrow BC = 6.\end{array}\]
Chu vi tam giác đều \[ABC\] là: \[C = 3.BC = 3.6 = 18\;cm.\]
Chọn C.
Câu 10:
Xét đường tròn [O] ta có H là trung điểm của dây cung AB
\[ \Rightarrow OH \bot AB = \left\{ H \right\}\] [mối liên hệ giữa đường kính và dây cung].
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \[OAH\] vuông tại H có:
\[\begin{array}{l}O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} \\\;\;\;\;\;\;= {R^2} - {\left[ {\dfrac{{AB}}{2}} \right]^2} = {5^2} - {3^2} = {4^2}\\ \Rightarrow OH = 4cm.\end{array}\]
Chọn A.
Câu 11:
Ta có: \[ON = 6cm,\;O'M = 5cm.\]
\[\begin{array}{l}ON = OM + MN\\ \Leftrightarrow 6 = OM + MN.\\O'M = O'N + MN \\\Leftrightarrow 5 = O'N + MN.\\ \Rightarrow 11 = OM + MN + O'N + MN\\ \Leftrightarrow 11 = OM + O'N + 2MN.\end{array}\]
Lại có: \[OO' = OM + MN + NO' = 8\]
\[ \Rightarrow 11 = 8 + MN \Leftrightarrow MN = 3cm.\]
Chọn B.
Câu 12:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O] ta có:
\[\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {180^0}\] [hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp] \[ \Rightarrow \] đáp án A sai.
\[\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB] \[ \Rightarrow \] đáp án B đúng.
Chọn A.
II. TỰ LUẬN [7 ĐIỂM]
Câu 13.
a] So sánh 5 và \[2\sqrt 6 \]
Ta có
\[\begin{array}{l}5 = \sqrt {25} \\2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {24} \end{array}\]
Vì \[25 > 24 \Rightarrow \sqrt {25} > \sqrt {24} \Leftrightarrow 5 > 2\sqrt 6 \]
b] Giải phương trình \[{x^4} - 4{x^2} - 5 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\,\,\left[ {t \ge 0} \right]\], khi đó phương trình trở thành
\[\begin{array}{l}{t^2} - 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + t - 5 = 0\\ \Leftrightarrow t\left[ {t - 5} \right] + \left[ {t - 5} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {t - 5} \right]\left[ {t + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\,\,\left[ {tm} \right]\\t = - 1\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Khi \[t = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 \].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { \pm \sqrt 5 } \right\}\].
Câu 14.
a] Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?
Ta có \[\Delta ' = {\left[ {m + 1} \right]^2} - 4{m^2} = - 3{m^2} + 2m + 1\]
Để phương trình có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \Delta ' = 0\]
\[\Leftrightarrow - 3{m^2} + 2m + 1 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\]
b] Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.
Để phương trình có nghiệm \[ \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le x \le 1\].
Theo hệ thức Vi-et ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2}}}{4}\end{array} \right.\]
Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là:
\[S = x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} \]\[\,= \dfrac{{{{\left[ {m + 1} \right]}^2}}}{4} - \dfrac{{2{m^2}}}{4} \]\[\,= \dfrac{{ - {m^2} + 2m + 1}}{4}\]
Trong trường hợp phương trình có nghiệm kép thì \[m = 1\] hoặc \[m = - \dfrac{1}{3}\], khi đó ta có \[S = \dfrac{1}{2}\] hoặc \[S = \dfrac{1}{{18}}\].
Câu 15.
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là x [h] [ĐK: \[x > 0\]]
Gọi thời gian vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể là y [h] [ĐK: \[y > 0\]]
Khi đó mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được \[\dfrac{1}{x}\] bể và vòi thứ hai chảy được \[\dfrac{1}{y}\] bể.
Vì nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nên mỗi giờ cả hai vòi chảy được \[\dfrac{1}{3}\] bể, do đó ta có phương trình \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3}\,\,\left[ 1 \right]\].
Vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút = \[\dfrac{5}{3}\,\left[ h \right]\] nên ta có phương trình \[x + \dfrac{5}{2} = y\,\,\left[ 2 \right]\]
Thay [2] vào [1] ta có \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + \dfrac{5}{2}}} = \dfrac{1}{3}\]
\[\Leftrightarrow 3\left[ {x + \dfrac{5}{2}} \right] + 3x = x\left[ {x + \dfrac{5}{2}} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x + \dfrac{{15}}{2} + 3x = {x^2} + \dfrac{5}{2}x \\\Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{7}{2}x - \dfrac{{15}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x - 15 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 10x + 3x - 15 = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left[ {x - 5} \right] + 3\left[ {x - 5} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 5} \right]\left[ {2x + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\left[ {tm} \right]\\x = \dfrac{{ - 3}}{2}\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow y = 5 + \dfrac{5}{2} = 7,5\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đày bể là 5 giờ và thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 7,5h.
Câu 16.
a] Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.
Vì E là trung điểm của BD \[ \Rightarrow OE \bot BD\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Xét tứ giác OACE có \[\widehat {OAC} + \widehat {OEC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác OACE là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800].
b] Chứng minh rằng \[BE.BC = 2{R^2}\]
Xét tam giác BOE và tam giác BCA có:
\[\widehat {ABC}\] chung;
\[\widehat {OEB} = \widehat {BAC} = {90^0}\];
\[ \Rightarrow \Delta BOE \sim \Delta BCA\,\,\left[ {g.g} \right] \]
\[\Rightarrow \dfrac{{BE}}{{BA}} = \dfrac{{BO}}{{BC}}\]
\[\Leftrightarrow BE.BC = BA.BO = 2R.R = 2{R^2}\]
c] Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.
Ta có tứ giác OACE nội tiếp \[ \Rightarrow \] Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OACE.
\[ \Rightarrow \] Tâm I thuộc đường trung trực của OA.
Mà OA cố định \[ \Rightarrow \] Trung trực của OA cố định.
Vậy khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE di chuyển trên trung trực của OA.