Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Bài 1 trang 84 SGK Giải tích 12:
Giải các phương trình mũ:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
+] Sử dụng các công thức của hàm lũy thừa: am.an=am+n;a0=1;
+] Đưa phương trình về dạng: af[x] = ag[x] ⇔ f[x] = g[x] [∗]sau đó giải phương trình [*] tìm nghiệm của phương trình rồi kết luận nghiệm.
- Giải Toán 12: Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
a] \[{{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108;\]
b] \[{{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28;\]
c] \[{{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0;\]
d] \[{{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}.\]
Hướng dẫn:
Đưa về các lũy thừa có cùng cơ số hoặc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai để giải các bài toán.
a] \[{{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108;\]
\[{{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{.3}^{2x}}+{{3}^{2x}}=108\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{{.3}^{2x}}=108\Leftrightarrow {{3}^{2x}}=81={{3}^{4}}\\ \Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\{2\}\].
b] \[{{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28;\]
\[{{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28\Leftrightarrow {{2.2}^{x}}+\dfrac{1}{2}{{.2}^{x}}+{{2}^{x}}=28 \\\Leftrightarrow \dfrac{7}{2}{{.2}^{x}}=28\Leftrightarrow {{2}^{x}}=8={{2}^{3}}\Leftrightarrow x=3\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\{3\}\].
c] \[{{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0;\]
\[{{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0\Leftrightarrow {{8}^{2x}}-{{8}^{x}}-56=0 \]
Đặt \[{{8}^{x}}=t,\,\left[ t>0 \right]\] phương trình trở thành
\[{{t}^{2}}-t-56=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=-7\,\left[ \text{loại} \right] \\ & t=8\,\left[ \text{thỏa mãn} \right] \\ \end{aligned} \right. \]
Với \[t=8\Leftrightarrow {{8}^{x}}=8={{8}^{1}}\Leftrightarrow x=1\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\{1\}\].
d] \[{{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}.\]
Chia cả hai vế cho \[9^x\] ta được:
\[3.{{\left[ \dfrac{2}{3} \right]}^{2x}}-2.{{\left[ \dfrac{2}{3} \right]}^{x}}-1=0 \]
Đặt \[\left[ \dfrac{2}{3} \right]^x=t,\,\left[ t>0 \right]\] phương trình trở thành
\[3{{t}^{2}}-2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=1\,\left[ \text{thỏa mãn} \right] \\ & t=-\dfrac{1}{3}\,\left[ \text{loại} \right] \\ \end{aligned} \right. \]
Với \[t=1\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{2}{3} \right]}^{x}}=1={{\left[ \dfrac{2}{3} \right]}^{0}}\Leftrightarrow x=0\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\{0\}\].
Chú ý: Nếu phương trình chứa các lũy thừa có cơ số khác nhau thì đưa về cùng cơ số rồi đặt ẩn phụ. [Thông thường: ta chia cả hai vế cho lũy thừa có cơ số lớn nhất - ví dụ ý d].
a] \[{{\log }_{3}}\left[ 5x+3 \right]={{\log }_{3}}\left[ 7x+5 \right];\]
b] \[\log \left[ x-1 \right]-\log \left[ 2x-11 \right]=\log 2;\]
c] \[{{\log }_{2}}\left[ x-5 \right]+{{\log }_{2}}\left[ x+2 \right]=3;\]
d] \[\log \left[ {{x}^{2}}-6x+7 \right]=\log \left[ x-3 \right].\]
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định rồi áp dụng \[\log_ax=\log_ay\Leftrightarrow x=y\].
a] \[{{\log }_{3}}\left[ 5x+3 \right]={{\log }_{3}}\left[ 7x+5 \right];\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{aligned} & 5x+3>0 \\ & 7x+5>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>-\dfrac{3}{5} \\ & x>-\dfrac{5}{7} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{5} \]
\[\Leftrightarrow 5x+3=7x+5\Leftrightarrow 2x=-2\Leftrightarrow x=-1\,\left[ \text{loại} \right]\]
Vậy phương trình vô nghiệm.
b] \[\log \left[ x-1 \right]-\log \left[ 2x-11 \right]=\log 2;\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{aligned} & x-1>0 \\ & 2x-11>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>1 \\ & x>\dfrac{11}{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>\dfrac{11}{2} \]
\[\Leftrightarrow \log \dfrac{x-1}{2x-11}=\log 2\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{2x-11}=2\\ \Rightarrow x-1=4x-22\Leftrightarrow 3x=21\Leftrightarrow x=7\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\left\{ 7 \right\} \].
c] \[{{\log }_{2}}\left[ x-5 \right]+{{\log }_{2}}\left[ x+2 \right]=3;\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{aligned} & x-5>0 \\ & x+2>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>5 \\ & x>-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>5 \]
\[{{\log }_{2}}\left[ \left[ x-5 \right]\left[ x+2 \right] \right]=3={{\log }_{2}}{{2}^{3}}\\ \Leftrightarrow \left[ x-5 \right]\left[ x+2 \right]=8\\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-18=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=6 \\ & x=-3\,\left[ \text{loại} \right] \\ \end{aligned} \right. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\left\{ 6 \right\} \].
d] \[\log \left[ {{x}^{2}}-6x+7 \right]=\log \left[ x-3 \right].\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-6x+7>0 \\ & x-3>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>3 \]
\[{{x}^{2}}-6x+7=x-3\\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+10=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=5 \\ & x=2\,\left[ \text{loại} \right] \\ \end{aligned} \right. \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S=\left\{ 5 \right\} \].
Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit . Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 84, 85 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình mũ; Giải các phương trình logarit
Bài 1: Giải các phương trình mũ:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x – 2}} = 1\];
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}\]= 25;
c] \[2^{x^{2}-3x+2}\] = 4;
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 – 2x}} = 2\].
Giải:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x – 2}} = 1 ={\left[ {0,3} \right]^0} \Leftrightarrow 3x – 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\].
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}= 25 ⇔{5^{ – x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = – 2\].
c] \[2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} – 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\].
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 – 2x}} = 2 ⇔ \left [ \frac{1}{2} \right ]^{x+7+1-2x}= 2\] \[⇔ 2^{x – 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x – 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\].
Bài 2: Giải các phương trình mũ:
a] \[{3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\];
b] \[{2^{x + 1}} + {2^{x – 1}} + {2^x} = 28\];
c] \[{64^x}-{8^x}-56 =0\];
d] \[{3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\].
a] Đặt \[t ={3^{2x-1}} > 0\] thì phương trình đã cho trở thành \[t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\].
Do đó phương trình đã cho tương đương với
\[{3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\].
b] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\], phương trình đã cho trở thành \[4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\].
Phương trình đã cho tương đương với
\[{2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} – 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\].
c] Đặt \[t = 8^x> 0\]. Phương trình đã cho trở thành
\[{t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} – 7\text{ [loại]}\].
Vậy phương trình đã cho tương đương với \[8^x= 8 ⇔ x = 1\].
d] Chia hai vế phương trình cho \[9^x> 0\] ta được phương trình tương đương
\[3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\] – 2.\[\frac{6^{x}}{9^{x}}\] = 1 ⇔ 3. \[\left [ \frac{4}{9} \right ]^{x}\] – 2.\[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x} – 1 = 0\].
Đặt \[t = \left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}\] > 0, phương trình trên trở thành
\[3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\]; \[t = -\frac{1}{3}\][ loại].
Vậy phương trình tương đương với \[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}= 1 ⇔ x = 0\].
Bài 3: Giải các phương trình logarit
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\]
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\]
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\] [1]
TXD: \[D = \left[ {{{ – 3} \over 5}, + \infty } \right]\]
Khi đó: [1] \[⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\] [loại]
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
TXD: \[D = [{{11} \over 2}, + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [2] \Leftrightarrow \lg {{x – 1} \over {2x – 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x – 1} \over {2x – 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x – 1 = 4x – 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \]
Ta thấy \[x = 7\] thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 7\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\] [3]
TXD: \[[5, +∞]\]
Khi đó:
[3]\[ \Leftrightarrow {\log _2}[x – 5][x + 2]=3\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x – 5} \right][x + 2] = 8 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} – 3x – 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr
x = – 3 \hfill \cr} \right.\]
Loại \[x = -3\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 6\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\] [4]
TXD: \[D = [3 + \sqrt 2 , + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [4] \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 7 = x – 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Loại \[x = 2\]
Vậy phương trình [4] có nghiệm là \[x = 5\].
Bài 4: Giải các phương trình lôgarit:
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log 8{\rm{x}} – \log 4{\rm{x}}\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\]
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = \log 5{\rm{x}} – \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x – 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 6 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
x = – 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log 8{\rm{x}} – \log 4{\rm{x}}\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} – 4{\rm{x}} – 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} – 4{\rm{x}} – 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} – 4{\rm{x}} – 1 = 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} – 4{\rm{x}} – 5 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = – 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\]
\[\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 8\]