Học Tốt Phương trình

Giải bất phương trình lớp 11 đạo hàm

Phương pháp áp dụng Bài toán thường được đặt ra dưới dạng: "Cho hàm số y = f[x], hãy giải phương trình g[y, y'] = 0". Khi đó, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tính đạo hàm y'.

Bước 2: Chuyển phương trình g[y, y'] = 0 về phương trình đại số thông thường để giải.

Thí dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau:

a. f'[x] = 0 với f[x] = $\frac{1}{3}$x$^3$ - 2x$^2$ - 6x - 1. b. f'[x] = -5 với f[x] = $\frac{1}{4}$x$^4$ - x$^3$ - $\frac{3}{2}$x$^2$ - 3.a. Trước tiên, ta có: f'[x] = x$^2$ - 4x - 6. Khi đó, phương trình có dạng: x$^2$ - 4x - 6 = 0 x ≈ 5,162 hoặc x ≈ -1,162. b. Trước tiên, ta có: f'[x] = x$^3$ - 3x$^2$ - 3x. Khi đó, phương trình có dạng: x$^3$ - 3x$^2$ - 3x = -5 x$^3$ - 3x$^2$ - 3x + 5 = 0 [x - 1][x$^2$ - 2x - 5] = 0 x = 1 hoặc x ≈ 3,449 hoặc x ≈ -1,449.

Thí dụ 2. Cho hàm số f[x] = x$^3$ - 3x$^2$ + 2. Hãy giải bất phương trình:

a. f'[x] > 0. b. f'[x] ≤ 3.Trước tiên, ta có f'[x] = 3x$^2$ - 6x. a. Bất phương trình có dạng: 3x$^2$ - 6x > 0 x$^2$ - 2x > 0 x > 2 hoặc x < 0. b. Bất phương trình có dạng: 3x$^2$ - 6x ≤ 3 x$^2$ - 2x - 1 ≤ 0 1 - $\sqrt 2 $ ≤ x ≤ 1 + $\sqrt 2 $.

Thí dụ 3: Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a. y = sin2x - 2cosx. b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x. c. y = cos$^2$x + sinx. d. y = tanx + cotx.a. Trước tiên, ta có: y' = 2cos2x + 2sinx. Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x + 2sinx = 0 cos2x = -sinx = cos[x + $\frac{\pi }{2}$] $\left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3}\end{array} \right.$, k ∈ \[\mathbb{Z}\]. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. b. Trước tiên, ta có: y' = 6cos2x - 8sin2x + 10. Khi đó, phương trình có dạng: 6cos2x - 8sin2x + 10 = 0 4sin2x - 3cos2x = 5 $\frac{4}{5}$sin2x - $\frac{3}{5}$cos2x = 1. Đặt $\frac{4}{5}$ = cos2α thì $\frac{3}{5}$ = sin2α, do đó ta được: sin2xcos2α - sin2α.cos2x = 1 sin[2x - 2α] = 1 2x - 2α = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ x = α + $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ \[\mathbb{Z}\]. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. c. Trước tiên, ta có: y' = -2sinx.cosx + cosx = -sin2x + cosx. Khi đó, phương trình có dạng: -sin2x + cosx = 0 sin2x = cosx = sin[$\frac{\pi }{2}$ - x] $\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + 2k\pi \\2x = \pi - \frac{\pi }{2} + x + 2k\pi \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.$, k ∈ \[\mathbb{Z}\]. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. d. Trước tiên, ta có: y' = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Khi đó, phương trình có dạng: $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ = 0 $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ = $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ tan2x = 1 tanx = 1 x = ± $\frac{\pi }{4}$ + kπ x = $\frac{\pi }{4}$ + $\frac{{k\pi }}{2}$, k ∈ \[\mathbb{Z}\].

Thí dụ 4: Cho hàm số y = mx$^3$ + x$^2$ + x - 5. Tìm m để:

a. y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. b. y' có hai nghiệm trái dấu. c. y' > 0 với mọi x.Trước tiên, ta có y' = 3mx$^2$ + 2x + 1. a. Để y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi: \[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\1 - 3m = 0\end{array} \right.\] m = $\frac{1}{3}$. Vậy, với m = $\frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Để y' có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình: 3mx$^2$ + 2x + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu P < 0 3m < 0 m < 0. Vậy, với m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. c. Để y' > 0 với mọi x khi và chỉ khi: 3mx$^2$ + 2x + 1 > 0 ∀x. Trường hợp 1: Với m = 0 ta được: 2x + 1 > 0 x > -$\frac{1}{2}$, không thoả mãn với mọi x. Trường hợp 2: Với m ≠ 0 điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}3m > 0\\1 - 3m < 0\end{array} \right.$ m > $\frac{1}{3}$. Vậy, với m > $\frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 4: Cho hàm số y = 4sinx + 3cosx + 5x. Hãy giải phương trình y' = 0.

Ta có: y' = 4cosx - 3sinx + 5. Khi đó: y' = 0 4cosx - 3sinx + 5 = 0 3sinx - 4cosx = 5 $\frac{3}{5}$sinx - $\frac{4}{5}$cosx = 1. Đặt $\frac{3}{5}$ = cosα và = $\frac{4}{5}$sinα, phương trình được chuyển về dạng: sinx.cosα - cosx.sinα = 1 sin[x - α] = 1 x - α = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ x = α + $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z. Vậy, phương trình có nghiệm x = α + $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.

Với ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình môn Toán lớp 11 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình. Mời các bạn đón xem:

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình – Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a] Các công thức đạo hàm

Đạo hàm các hàm số cơ bản

Đạo hàm các hàm hợp u = u[x]

[c]’ = 0 [c là hằng số]

[x]’ = 1

xα'=α.xα−1

1x'=−1x2; x≠0x'=12x; x>0

[sin x]’ = cos x

[cos x]’ = -sin x

tanx'=1cos2x=1+tan2x

cotx'=−1sin2x=−1+cot2x

uα'=α.u'.uα−1

1u'=−u'u2u'=u'2u

[sin u]’ = u’.cos u

[cos u]’ = -u’.sin u

tanu'=u'cos2u=u'.1+tan2u

cotu'=−u'sin2u=−u'.1+cot2u

b] Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u[x], v = v[x]

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. [u + v]’ = u’ + v’

2. [u – v]’ = u’ – v’

3. [u.v]’ = u’.v + v’.u

4. uv'=u'v−v'uv2 v=v x≠0

Chú ý:

a] [k.v]’ = k.v’ [k: hằng số]

b] 1v'=−v'v2 v=v[x]≠0

Mở rộng:

u1±u2±...±un'=u1'±u2'±...±un'

u.v.w'=u'.v.w+u.v'.w+u.v.

c] Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f[u[x]] = f[u] với u = u[x]. Khi đó: yx'=yu'. ux'

Phương pháp giải:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: a] Cho fx=2x3+x−2,gx=3x2+x+2. Giải bất phương trình f’[x] > g’[x].

b] Cho fx=3x+60x−64x3+5. Giải phương trình f’[x] = 0.

c] Cho y = cos2x + sin x. Giải phương trình y’ = 0.

Lời giải

a] Ta có f'x=2x3+x−2'=6x2+1

g'x=3x2+x+2'=6x+1

Ta có: f'x>g'x⇔6x2+1>6x+1⇔6x2−6x>0⇔6xx−1>0⇔x∈−∞;0∪1;+∞

Vậy phương trình có tập nghiệm là S=−∞;0∪1;+∞.

b] Ta có f'x=3x+60x−64x3+5'=3−60x2+192x4

f'x=0⇔3−60x2+192x4=0 1

Đặt t=1x2,t>0

1⇔192t2−60t+3=0⇔t=14t=116

Với t=14⇔1x2=14⇔x2=4⇔x=±2

Với t=116⇔1x2=116⇔x2=16⇔x=±4

Vậy f’[x] = 0 có 4 nghiệm x=±2, x=±4.

c] Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x

Khi đó, phương trình có dạng:

−sin2x+cosx=0⇔sin2x=cosx=sinπ2−x

⇔2x=π2−x+2kπ2x=π−π2+x+2kπ ⇔x=π6+2kπ3x=π2+2kπ;k∈ℤ.

Vậy nghiệm của phương trình là x=π6+2kπ3; x=π2+2kπ,k∈ℤ.

Ví dụ 2: a] Cho y = tan x. Chứng minh y’ – y2 – 1 = 0.

b] Cho y = xsinx. Chứng minh: x.y – 2[y’– sinx] + x[2cosx – y] = 0.

Lời giải

a] y'=tan x’=1cos2x=1+tan2x

Ta có: y’ – y2 – 1 = 1 + tan2x – tan2x – 1 = 0 [đpcm].

b] y’ = [xsin x]’ = x’.sin x + x.[sin x]’ = sin x + xcos x.

Ta có: x.y – 2[y’ – sin x] + x[2cos x – y]

= x2.sin x – 2[sin x + xcosx – sin x] + x[2cosx – xsin x]

= x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = 0 [đpcm].

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số y=x2−1. Nghiệm của phương trình y’.y = 2x + 1 là:

A. x = 2.

B. x = 1.

C. Vô nghiệm.

D. x = – 1.

Câu 2. Cho hàm số fx=13x3−22x2+8x−1, có đạo hàm là f’[x]. Tập hợp những giá trị của x để f’[x] = 0 là:

A. −22.

B. 2;2.

C. −42.

D. 22.

Câu 3. Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm là y’. Để y'≤0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. −29;0.

B. −92;0.

C. −∞;−92∪0;+∞.

D. −∞;−29∪0;+∞.

Câu 4. Cho hàm số y=13x3−2m+1x2−mx−4, có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để y'≥0 với ∀x∈ℝ.

A. m∈−1;−14.

B. m∈−1;−14.

C. m∈−∞;−1∪−14;+∞.

D. m∈−1;14.

Câu 5. Cho hàm số y=−13mx3+m−1x2−mx+3, có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 thỏa mãn x12+x22=6.

A. m=−1+2; m=−1−2.

B. m=−1−2.

C. m=1−2; m=1+2.

D. m=−1+2.

Câu 6. Cho hàm số y = [2x2 + 1]3, có đạo hàm là y’. Để y'≥0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?

A. Không có giá trị nào của x.

B. −∞ ;0.

C. 0 ;+∞.

D. R.

Câu 7. Cho hàm số fx=1−3x+x2x−1. Giải bất phương trình f’[x] > 0.

A. x∈ℝ\1.

B. x∈∅.

C. x∈1;+∞.

D. x∈ℝ.

Câu 8. Cho hàm số fx=x3x−1. Phương trình f’[x] = 0 có tập nghiệm S là:

A. S=0;23.

B. S=−23;0.

C. S=0;32.

D. S=−32;0.

Câu 9. Cho hàm số fx=x2−2x. Tập nghiệm S của bất phương trình f'x≥fx có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 10. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:

A. M = [– 3; 3].

B. M=[−∞;−3]∪[3;+∞].

C. M = R.

D. M=[−∞;−3]∪[3;+∞].

Câu 11. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017. Bất phương trình y’ < 0 có tập nghiệm là:

A. S = [– 1; 1].

B. S=[−∞;−1]∪[1;+∞].

C. S=[1;+∞].

D. S=[−∞;−1].

Câu 12. Cho hàm số f[x] = x4 + 2x2 – 3. Tìm x dể f’[x] > 0?

A. –1 0.

D. x < – 1.

Câu 13. Cho hàm số y = [m – 1]x3 – 3[m + 2]x2 – 6[m + 2]x + 1. Tập giá trị của m để y'≥0,∀x∈R là

A. [3;+∞].

B. [-2; 0].

C. [42;+∞].

D. [1;+∞].

Câu 14. Cho hàm số f[x] = acosx + 2sinx – 3x + 1. Tìm a để phương trình f’[x] = 0 có nghiệm?

A. |a|5.

D. |a|

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề