Gọi 1 2 x , x là 2 nghiệm của phương trình 2 2x – 4x – 1 0 . khi đó, giá trị của t x x 1 2 là:

[1]

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et [phục vụ chuyên đề 4]

DẠNGIV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT

A- TĨM TẮT LÍ THUYẾT:

I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [ a  0]  = b2 - 4ac

* Nếu  > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -

2a

; x2 = -b +

2a

* Nếu  = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b2a

* Nếu  < 0 thì phương trình vơ nghiệm

II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng cơng thức nghiêm thu gọn.
' = b'2 - ac

* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệtx1 =

-b' - 'a



; x2 =

-b' + 'a



* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b'

a
* Nếu  ' < 0 thì phương trình vơ nghiệm.

III- Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :

1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2bx c 0[a 0]   thì :

1 2

x x

acx x



 



 



2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x2 Sx P 0 
[Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 ]

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2bx c 0[a 0]   có hai nghiệm : 1 2

x 1; x

 

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2bx c 0[a 0]   có hai nghiệm : 1 2

x 1; x

 

IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 [a  0] có: 1. Có nghiệm [có hai nghiệm]  0

2. Vô nghiệm  < 0

3. Nghiệm duy nhất [nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau]  = 0

4. Có hai nghiệm phân biệt [khác nhau]  > 0

5. Hai nghiệm cùng dấu  0 và P > 0

6. Hai nghiệm trái dấu  > 0 và P < 0  a.c < 0

7. Hai nghiệm dương[lớn hơn 0]  0; S > 0 và P > 0

8. Hai nghiệm âm[nhỏ hơn 0]  0; S < 0 và P > 0

9. Hai nghiệm đối nhau  0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau  0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S > 0

4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài tốn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức



2 2 2 2 2

1 2 [ 1 2 1 2 2] 2 1 2 [ 1 2] 2 1 2
x x  x  x x x  x x  x x  x x













 



3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2

x x  x x x  x x x  x x  x x  x x 

[2]







2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 [ ]1 [ ]2 1 2 2 1 2 [ 1 2] 2 1 2 2 1 2
x x  x  x  x x  x x  x x  x x   x x



1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x



 







1 2 1 2 4 1 2

x  x  x x  x x



2 21 2

x  x [ 



x1 x2

 

x1x2



=…….]



3 31 2

x  x [ =











 



2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x  x x x x x  x  x  x x  x x 

  =……. ]



4 4

1 2

x  x [ =



x12x22

 

x12 x22



=…… ]



6 6

1 2

x x [ = [ ]x12 3[ ]x22 3



x12x22

 

x14 x x12 22 x24



= ……..]

Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
Tổng quát:

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số.Giải hệ tìm tham số m.

Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay khơng?

Bài 1. Cho hai phương trình:

x

 

x m



0

và

x



mx

 

1 0

Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. [ Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là x = 1 ]Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình ta có

Bài 2. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.

2 0

x



mx





và

x



2 x m





0

[ Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1]B- BÀI TẬP

I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Giải các phương trình sau :

a / 2x  8 0 b / 3x2 5x 0 c / 2x 23x 5 0 

3 2

e / x 3x  2x 6 0  d / x43x2 4 0 f /x 2 3 6

x 5 2 x



 

 

Giải

2 2 2

a / 2x  8 0  2x  8 x  4 x2Vậy phương trình có nghiệm x2

x 0x 0

b / 3x 5x 0 x[3x 5] 5

3x 5 0 x



 

      



  



 Vậy phương trình có nghiệm

5x 0; x

 

c / 2x 3x 5 0   2x2 3x 5 0 

Nhẩm nghiệm:Ta có : a - b + c = 2 + 3 - 5 = 0 => phương trình có nghiệm : 1 2

5 5

x 1; x

2 2

  



4 2

d / x 3x  4 0 Đặt t x [t 0] 2  . Ta có phương trình : t2 3t 4 0  a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0

=> phương trình có nghiệm : t1 1 0 [thỏa mãn]; 2

t 4 0

  

[3]

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et [phục vụ chuyên đề 4]

3 2 3 2 2 2

2 2

e / x 3x 2x 6 0 [x 3x ] [2x 6] 0 x [x 3] 2[x 3] 0 [x 3][x 2] 0

x 3

x 3 0 x 3

x 2 0 x 2 x 2

                     

     

     

Vậy phương trình có nghiệm x3; x 2

x 2 6

f / 3

x 5 2 x



 

  [ĐKXĐ : x 2; x 5  ] Phương trình :

x 2 6

x 5 2 x



 

 

2 2 2

[x 2][2 x] 3[x 5][2 x] 6[x 5]

[x 5][2 x] [x 5][2 x] [x 5][2 x]

4 x 6x 3x 30 15x 6x 30 4x 15x 4 0

15 4.[ 4].4 225 64 289 0; 17

    

          

     

            

         

=> phương trình có hai nghiệm : 1

15 17 1

2.[ 4] 4

 

 

 [thỏa mãn ĐKXĐ], 2

15 17

x 4

2.[ 4]

 

 

 [thỏa mãn ĐKXĐ]

Bài 2:. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a] Cho phương trình : x2  8x15 0 Khơng giải phương trình, hãy tính

1. x12x22 2. 1 2

1 1

x  x 3.

1 2

2 1

x x

x  x 4.



x1x2



b] Cho phương trình : 8x2 72x64 0 Khơng giải phương trình, hãy tính: 1. 1 2

1 1

x  x , 2. 2 2

1 2

x x

c] Cho phương trình : x2 14x29 0 Khơng giải phương trình, hãy tính: 1. 1 2

1 1

x  x 2. 2 2

1 2

x x
d] Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Khơng giải phương trình, hãy tính:

1. 1 2

1 1

x  x 2.

1 2

1 x 1 x

x x

 



3. x12x22 4.

1 2

2 1 1 1

x x

x  x 

e] Cho phương trình x2 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6 10 6

5 5

x x x x

 





---Bài 3: Cho phương trình x2 2mx m  2 0 [x là ẩn số]

a] Chứng minh rằng phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b] Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.

Tìm m để biểu thức M = 12 22 1 2

246



 

x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

a/ Phương trình [1] có ∆’ = m2 - 4m +8 = [m - 2]2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = 2
b

m
a

 

; P =   2
c

m
a

M = 1 2 2 1 2

[ ] 8



 

x x x x = 2 2

24 6

4 8 16 2 4

 



   

[4]

[ 1] 3



 

m . Khi m = 1 ta có [ 1]2 3

 

m nhỏ nhất

[ 1] 3

  

 

m lớn nhất khi m = 1 2

[ 1] 3



 

 

m nhỏ nhất khi m = 1Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1

Bài 2: [2,0 điểm]

Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số.1] Giải phương trình khi m = 1.

2] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện

1 2

2 1

 

x x

x x .

HDBài 2:

1] Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – 3 = 0  x = -1 hay x = 3 [có dạng a–b + c = 0]

2] Với x1, x2  0, ta có :

1 2

2 1

 

x x

x x  2 2

1 2 1 2

3[x  x ] 8 x x

 3[x1 + x2][x1 – x2] = 8x1x2

Ta có : a.c = -3m2 0 nên  0, m

Khi  0 ta có : x1 + x2 =

 b 

a và x1.x2 =



c

a  0

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm  0 mà m  0  > 0 và x1.x2 < 0  x1 < x2

Với a = 1  x1 = b' ' và x2 = b' ' x1 – x2 = 2  ' 2 1 3 m2

Do đó, ycbt  3[2][ 2 1 3  m2] 8[ 3  m2] và m  0
 1 3 m2 2m2[hiển nhiên m = 0 không là nghiệm]

 4m4 – 3m2 – 1 = 0  m2 = 1 hay m2 = -1/4 [loại]  m = 1

Bài 3. [1,5 đ]

Cho phương trình: x2 – 2[m+2]x + m2 + 4m +3 = 0.

1] Chứng minh rằng : Phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2] Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

HDbài 3. [1,5 đ]

Cho phương trình: x2 – 2[m+2]x + m2 + 4m +3 = 0.

1] Chứng minh rằng : Phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.Ta có

2 2

[m 2] m 4m 3 1

  

        

> 0 với mọi m.

Vậy phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.

2] phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-ét ta có :

1 221 2

x x 2[m 2]

x .x m 4m 3

   



  



A = x12x22 = [x1 + x2]2 – 2 x1x2 = 4[m + 2]2 – 2[m2 + 4m +3] = 2m2 + 8m+ 10
= 2[m2 + 4m] + 10

= 2[m + 2]2 + 2 ≥ 2 với mọi m.
Suy ra minA = 2  m + 2 = 0  m = - 2

Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2

Bài 4] Cho phương trình: x2 – [4m – 1]x + 3m2 – 2m = 0 [ẩn x]. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện : x12x22 7

Giải Bài 4: + Phương trình đã cho có  = [4m – 1]2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, m

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt m

[5]

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et [phục vụ chuyên đề 4] + Theo ĐL Vi –ét, ta có:

1 2

21 2

4 1

3 2

x x m

x x m m

  



 



 .

Khi đó: x12x22  7 [x1x2]2 2x x1 2 7

 [4m – 1]2 – 2[3m2 – 2m] = 7  10m2 – 4m – 6 = 0  5m2 – 2m – 3 = 0

Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0 => m = 1 hay m = 35

. Trả lời: Vậy....

Câu 5 [2.0 điểm] : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 01. Giải phơng trình khi m = 4

2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Giải

1. Khi m = 4, ta có phương trình

x2 + 8x + 12 = 0 có ’ = 16 – 12 = 4 > 0Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệtx1 = - 4 + 2 = - 2 và x2 = - 4 - 2 = - 6

2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0

Có D’ = m2 – [m2 – 2m + 4] = 2m – 4

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0=> 2m – 4 > 0 => 2[m – 2] > 0 => m – 2 > 0 => m > 2Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 6: [1,5 điểm]

Cho phương trình [ẩn số x]: x2 4x m 2 3 0 *

 

1. Chứng minh phương trình [*] ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để phương trình [*] có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5x1.
Giải câu 6: [1,5 điểm]

Cho phương trình [ẩn số x]:.

 

2 2

4 3 0 *

16 4 12 4 4 4 0;

x x m

m m m

   

        

Vậy [*] ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Tìm giá trị của m để phương trình [*] có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5x1.

Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + 3 ;x1+ x2 = 4; mà x2 5x1 => x1 = - 1 ; x2 = 5
Thay x1 = - 1 ; x2 = 5 vào x1.x2 = - m2 + 3 => m = 2 2

Câu 7: 2 điểm:Cho phơng trình: x2 2[m-1]x + m2 – 6 =0 [ m lµ tham số].

a] GiảI phơng trình khi m = 3

b] Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

2 21 2 16

x x 

Giải Câu 7: [2,0 điểm]

a, Thay x = 3 vào phương trình x2 - 2[m - 1]x + m2 - 6 = 0 và giải phương trình:
x2 - 4x + 3 = 0 bằng nhiều cách và tìm được nghiệm x1 = 1, x2 = 3.b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

[6]

1 221 2

2[ 1]

. 6

x x m

  



 



và x12 + x22 = [x1 + x2]2 - 2x1.x2 = 16Thay vào giải và tìm được m = 0, m = -4

Câu 8:[1,5 điểm]

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2−5x −3=0 .Khơng giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau:

a, x1 + x2 b, x 1

1+x2 c, x12

+x22

Câu 9 [2đ]

Cho phương trình x2 – 2[m – 3]x – 1 = 0a] Giải phương trình khi m = 1

b] Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Giải câu 9 [2đ] Cho phương trình x2 – 2[m – 3]x – 1 = 0c] Giải phương trình khi m = 1

d] Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Đáp án a] x1 = −2−

√

5 ; x2 = −2+

√

e] Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1  pt ln có 2 nghiệm

Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2[m – 3] ; x1x2 = –1

Mà A=x12 – x1x2 + x22 = [x1 + x2 ]2 – 3x1x2 = 4[m – 3]2 + 3 3

 GTNN của A = 3  m = 3

Câu I0: [1,5 điểm]

1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0

2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiện

3 3

1 2 1 2

x x



x x



6

Giải Câu I0: [1,5 điểm]

1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x1= -1 và x2= 8

2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiện

3 3

1 2 1 2

x x



x x



6

Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì



’



0  1 – m + 3



0  m



4Theo viet ta có: x1+ x2 =2 [1] và x1. x2 = m – 3 [2]

Theo đầu bài:

3 3

1 2 1 2

x x



x x



6 

x x x

1 2





x





2x x

1 2= 6 [3]

Thế [1] và [2] vào [3] ta có: [m - 3][2]2 – 2[m-3]=6  2m =12  m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m



4 vậy khơng cógiá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện

3 3

1 2 1 2

x x



x x



6

Câu 11. [1,5 điểm]

Cho phương trình x2 2[m 1]x m 2 0, với x là ẩn số, mR

a. Giải phương trình đã cho khi m  – 2

b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 màkhông phụ thuộc vào m.

Giải Câu 11. Cho pt x2 2[m 1]x m 2 0, với x là ẩn số, mR

a. Giải phương trình đã cho khi m  – 2

[7]

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et [phục vụ chuyên đề 4]

2 2

x 2x 4 0   x 2x 1 5 





 

x 1 5 5

   

x 1 5

  

x 1 5 x 1 5

     

   

   

 

 

Vậy phương trinh có hai nghiệm x 1 5 và x 1 5

Theo Vi-et, ta có

1 21 2

x x 2m 2 [1]

x x m 2 [2]

  



 



1 21 2

x x 2m 2

m x x 2

  

 

 







1 2 1 2

1 2

x x 2 x x 2 2

m x x 2

    

 

 



Suy ra x1x2 2 x x



1 22



2  x1x2 2x x1 2 6 0

II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a] Giải phương trình với m = - 5

b] Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d]Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào m e] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai[m - 2]x2 - 2[m + 2]x + 2[m - 1] = 0a] Giải phương trình với m = 3

b] Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2c] Tìm m để phương trình có nghiệm kép

d] Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào me] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

f] Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm cịn lại

Bài tập 16:Cho phương trình: x2 - 2[m- 1]x + m2 - 3m = 0 a] Giải phương trình với m = - 2

b] Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm cịn lạic] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d] Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e] Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22

Bài tập 17: Cho phương trình: mx2 - [m + 3]x + 2m + 1 = 0 a] Tìm m để phương trình có nghiệm kép

b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệtc] Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2d] Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 khơng phụ thuộc m

Bài tập 18: Cho phương trình: x2 - [2a- 1]x - 4a - 3 = 0

a] Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của ab] Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a

c] Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22

Bài tập 19: Cho phương trình: x2 - [2m- 6]x + m -13 = 0

a] Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22

Bài tập 20: Cho phương trình: x2 - 2[m+4]x + m2 - 8 = 0a] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b] Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất

c] Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

d] Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2

[8]

a] Giải phương trình với m = 4

b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1d] Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình

mx2 - 2[m - 2]x + [m - 3] = 0 thoả mãn điều kiện

x12+x22=1

Bài tập 23:Cho phương trình x2 - 2[m - 2]x + [m2 + 2m - 3] = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt

thoả mãn 1
x1

+ 1
x2

=x1+x2

Bài tập 24:Cho phương trình: mx2 - 2[m + 1]x + [m - 4] = 0 [m là tham số].a] Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

b] Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà khơng phụ thuộc vào m

Bài tập 25: Cho phương trình x2 - [m + 3]x + 2[m + 1] = 0 [1]Tìm giá trị của tham số m để phương trình có [1] có nghiệm x1 = 2x2.

Bài tập 26: Cho phương trình mx2 - 2[m + 1]x + [m - 4] = 0a] Tìm m để phương trình có nghiệm.

b] Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đốilớn hơn?

c] Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.d] Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

Bài tập 27:

a] Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
x2 - [m + 4]x + m + 5 = 0 [1]

x2 - [m + 2]x + m + 1 = 0 [2]

b] Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình [1] là nghiệm của phương trình [2] và ngược lại.

Bài tập 28: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - [2m - 1]x + m – 2 = 0
Tìm m để x1

+x22 có giá trị nhỏ nhất

Bài tập 29: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2[m + 1]x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

[9]

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et [phục vụ chuyên đề 4]
x2 + 2[m - 2]x - 2m + 7 = 0

Tìm m để

x12+x22

có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 31: Cho phương trình: x2 - m + [m - 2]2 = 0Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài tập 32: Cho phương trình: x2 - 2[m + 1]x + 2m + 10 = 0 [m là tham số]. Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của

phương trình thoả mãn 10x1x2 +

x12

+x22

đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.

III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI [ MỨC ĐỘ -YÊU CẦU- ĐÁP ÁN]
Câu I2. [2,0 điểm]

Cho phương trình [ẩn x]: x2– ax – 2 = 0 [*]1. Giải phương trình [*] với a = 1.

2. Chứng minh rằng phương trình [*] có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình [*]. Tìm giá trị của a để biểu thức:

N= x12[x12][x22]x22 có giá trị nhỏ nhất.

[ Tự Giải]
Câu 13. [4,0 điểm]

Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 [m là tham số] [1].

a] Giải phương trính [1] khi m = 1.

b] Tìm các giá trị của tham số m để phương trình [1] có nghiệm kép.

c] Tìm các giá trị của tham số m để phương trình [1] có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữnhật có diện tích bằng 2 [đơn vị diện tích].

Giải Câu 13

a] Khi m = 1, pt[1] trở thành: x2 – 3x = 0

 x[x – 3] = 0



  



Vậy khi m = 1, phương trình [1] có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 3.

b] Phương trình [1] có nghiệm kép khi có = 0
 [-3]2 – 4. 1.[m – 1] = 13 – 4m = 0

 m =

134

Vậy khi m =

4 thì phương trình [1] có nghiệm kép.

 ĐK để pt[1] có hai nghiệm x1, x2 là   0  13 – 4m  0  m 13

[10]

 Khi đó pt[1] có: x1x2 =
c

a = m – 1 .

 Theo đề bài, ta có: x1x2 = 2  m – 1 = 2  m = 3[ thỏa ĐK]

 Vậy khi m = 3 thì phương trình [1] có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật

có diện tích bằng 2 [đơn vị diện tích].

Câu14 [2,0 điểm].

Cho phương trình: x2  2[m1]x2m0 [1] [với ẩn là x].

1] Giải phương trình [1] khi m=1.

2] Chứng minh phương trình [1] ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

3] Gọi hai nghiệm của phương trình [1] là x1; x2. Tìm giá trị của m để x1; x2là độ dài hai cạnh của mộttam giác vng có cạnh huyền bằng 12.

Giai cau 14 Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 Giải phương trình được x1 2 2; x2  2 2

Tính  ' m21

Khẳng định phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương

2m 2 0

m 02m 0

 

 



Theo giả thiết có x12 + x22 = 12  [x1 + x2]2 – 2x1x2 = 12

4[m 1] 4m 12

     m2 + m – 2 = 0

Giải phương trình được m = 1 [ thoả mãn], m = -2 [loại]

Câu 15 [3,0 điểm]:

1. Cho phương trình x - 2m - [m + 4] = 02 2 [1], trong đó m là tham số.a] Chứng minh với mọi m phương trình [1] ln có 2 nghiệm phân biệt:b] Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình [1]. Tìm m để x + x12 22 20.2. Cho hàm số: y = mx + 1 [1], trong đó m là tham số.

a] Tìm m để đồ thị hàm số [1] đi qua điểm A [1;4]. Với giá trị m vừa tìm được, hàm số [1] đồng biến hay nghịch biến trên R?

b] Tìm m để đồ thị hàm số [1] song song với đường thẳng [d] có phương trình: x + y + 3 = 0

Gair câu 15 1 a] −1¿2−1.

[

−[m2+4]

]=

m2+5
Δ'=¿

Vì m2≥0,∀m⇒Δ'>0,∀m .

Vậy pt [1] ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b] Áp dụng định lý Vi –ét

x1+x2=2
x1x2=−[m2+4]

¿{

x12

+x22=20⇔

[

x1+x2

]

2−2x1x2=20
⇒22

+2m2+8=20⇔2m2=8⇔m=±2
vậy m= ±2

a] Vì đồ thị của hàm số [1] đi qua A[1;4] ⇒ 4= m.1+1 ⇔m=3

[11]

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et [phục vụ chuyên đề 4]b] [d] : y = - x – 3

Vì đồ thị của hàm số [1] song song với [d]
⇒
m=−1

1≠−3

¿{Vậy m = -1 thì đồ thị của hàm số [1] song song với [d]

Baøi 2: [2,0 điểm]











Cho phương trình x 2 m 1 x m 4 0 [

với m là tham so

á ]

.
a] Giải phương trình đã cho khi m 5.

b] Chứng tỏ phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. c] Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức :

2 2

1 2 1 2

x x 3x x





0

∙ Bài 2: a] * Khi m = 5, phương trình đã cho trở thành:

x  8x 9 0 [với a = 1 ; b = 8 ; c = 9] [*]   

* Ta thấy phương trình [*] có các hệ số thõa mãn a b + c = 0 ; nên nghiệm của phương trình [*] laø:

1 2 c

x 1 vaø x 9 [ ].

a nhẩm nghiệm theo Viet

  

* Vậy khi m = 5, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 11 và x29.

b] Phương trình đã cho [bậc hai đối với ẩn x] có các hệ số: a = 1 ; b/ = m + 1 và c = m 4 ; nên:









/ m 1 2 m 4 m2 m 5 m 1 2 19 19 0

2 4 4

 

             

 

vì m + 0 ;

2 bình phương một biểu thức thì khơng âm

   

   

    /1 2

0 ; vậy phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi giá trị của tham số m.

   c] Theo

câu b, phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Theo hệ thức Viet, tacó:





 

1 2

x x 2 m 1

x x m 4

  



  

 .

Căn cứ [I], ta có:





2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

m 0

x x 3x x 0 x x x .x 0 4m 9m 0 9

m4

           

 

 .

* 1 2

Vậy m 0 ; thì phương trình đã cho có nghiệm x , x thõa hệ thức 4



 

  

  x12x223x x1 2 0.

1,75đ a] +Khi m = 4 phương trình [1] trở thành 2

x  4x 3 0  + Tìm được hai nghiệm x1 = 1 ; x2 = 3

0,25
0,50

b]Cách 1:

+ Chứng tỏ  ≥ 0 nên được P/t [1] có nghiệm với mọi m

+ Áp dụng hệ thức Viét :

1 2

1 2x x mx .x m 1



 

 

+ Biến đổi hệ thức

1 21 2

x x1 1

x x 2011



 

thành

m m

m 1 2011  [*]

[12]

+ Điều kiện của [*]: m ≠ 1.Giải p/t [*] tìm được m = 0, m = 2012[tmđk]

Cách 2:

+ Chứng tỏ a + b + c = 0 nên được P/t [1] có nghiệm với mọi m + Viết được x1 = 1; x2 = m – 1

+ Biến đổi hệ thức

1 21 2

x x1 1

x x 2011



 

thành

m m

m 1 2011  [*]

+ Điều kiện của [*]: m ≠ 1.Giải p/t [*] tìm được m = 0, m = 2012[tmđk]