Khoảng cách giữa A B và AC

Các cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$.
Trong tất cả các đoạn nối hai điểm bất kì lần lượt thuộc $a,b$ thì đoạn vuông góc chung có độ dài nhỏ nhất. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, ký hiệu $d\left[ {a,b} \right],$ là độ dài đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.

Bình luận. Tồn tại mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ chứa $a$ và song song với $b$, mặt phẳng $\left[ \beta \right]$ chứa $b$ và song song với $a$. Và hiển nhiên $\left[ \alpha \right]\parallel \left[ \beta \right]$. Các khoảng cách sau bằng nhau:

$\left[ i \right]$ khoảng cách giữa $\left[ \alpha \right]$ và $\left[ \beta \right]$;$\left[ {ii} \right]$ khoảng cách giữa $a$ và $\left[ \beta \right];$$\left[ {iii} \right]$ khoảng cách giữa $b$ và $\left[ \alpha \right];$ $\left[ {iv} \right]$ độ dài đoạn vuông góc chung $\Delta .$
Do đó, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta không nhất thiết chỉ ra đoạn vuông góc chung, mà chỉ cần tính một trong ba khoảng cách $\left[ i \right],\left[ {ii} \right],\left[ {iii} \right].$

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left[ {ABC} \right]$ là trung điểm $H$ của $AB.$ Xác định đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CC'$. Góc hợp bởi $AA'$ và mặt đáy là ${60^o}.$ Tính khoảng cách giữa $AB$ và $CC'$.

Giải. Mặt phẳng $\left[ {ABB'A'} \right]$ chứa $AB$ và song song với $CC'.$ $ \Rightarrow d\left[ {CC',AB} \right] = d\left[ {CC',\left[ {ABB'A'} \right]} \right] = d\left[ {C,\left[ {ABB'A'} \right]} \right] = CH.$

Mặt khác $CH$ là đường cao trong tam giác đều $ABC$ nên
$d\left[ {CC',AB} \right] = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$