- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
- LG câu e
- LG câu g
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:
LG câu a
a] \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\[\int\limits_a^b {u\left[ x \right]d\left[ {v\left[ x \right]} \right]} \] \[ = \left. {\left[ {u\left[ x \right]v\left[ x \right]} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left[ x \right]d\left[ {u\left[ x \right]} \right]} \]
Lời giải chi tiết:
\[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I = \left. {\dfrac{{x\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \] \[ = \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{2}\]
LG câu b
b] \[\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\[\int\limits_a^b {u\left[ x \right]d\left[ {v\left[ x \right]} \right]} \] \[ = \left. {\left[ {u\left[ x \right]v\left[ x \right]} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left[ x \right]d\left[ {u\left[ x \right]} \right]} \]
Lời giải chi tiết:
\[I = \int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - 2x}}dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{{x{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - 2x}}dx} \] \[ = - \dfrac{{\ln 2.{e^{ - 2\ln 2}}}}{2} - \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}\] \[ = - \dfrac{{\ln 2}}{8} + \dfrac{3}{{16}}\]
LG câu c
c] \[\int\limits_0^1 {\ln [2x + 1]dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\[\int\limits_a^b {u\left[ x \right]d\left[ {v\left[ x \right]} \right]} \] \[ = \left. {\left[ {u\left[ x \right]v\left[ x \right]} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left[ x \right]d\left[ {u\left[ x \right]} \right]} \]
Lời giải chi tiết:
\[I = \int\limits_0^1 {\ln [2x + 1]dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {2x + 1} \right]\\dv = dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I = \left. {x\ln \left[ {2x + 1} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \] \[ = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \dfrac{1}{{2x + 1}}} \right]dx} \] \[ = \ln 3 - \left. {\left[ {x - \dfrac{{\ln \left[ {2x + 1} \right]}}{2}} \right]} \right|_0^1\] \[ = \ln 3 - \left[ {1 - \dfrac{{\ln 3}}{2}} \right] = \dfrac{3}{2}\ln 3 - 1\]
LG câu d
d] \[\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln [x - 1] - \ln [x + 1]{\rm{]}}dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\[\int\limits_a^b {u\left[ x \right]d\left[ {v\left[ x \right]} \right]} \] \[ = \left. {\left[ {u\left[ x \right]v\left[ x \right]} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left[ x \right]d\left[ {u\left[ x \right]} \right]} \]
Lời giải chi tiết:
\[I = \int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left[ {x - 1} \right] - \ln \left[ {x + 1} \right]} \right]dx} \] \[ = \int\limits_2^3 {\ln \left[ {x - 1} \right]dx} - \int\limits_2^3 {\ln \left[ {x + 1} \right]dx} \] \[ = J - K\] với \[J = \int\limits_2^3 {\ln \left[ {x - 1} \right]dx} \] và \[K = \int\limits_2^3 {\ln \left[ {x + 1} \right]dx} \].
+] Tính \[J = \int\limits_2^3 {\ln \left[ {x - 1} \right]dx} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {x - 1} \right]\\dv = dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x - 1}}\\v = x\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow J = \left. {x\ln \left[ {x - 1} \right]} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x - 1}}dx} \] \[ = 3\ln 2 - \int\limits_2^3 {\left[ {1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]dx} \] \[ = 3\ln 2 - \left. {\left[ {x + \ln \left[ {x - 1} \right]} \right]} \right|_2^3\] \[ = 3\ln 2 - 3 - \ln 2 + 2\] \[ = 2\ln 2 - 1\].
+] Tính \[K = \int\limits_2^3 {\ln \left[ {x + 1} \right]dx} \].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {x + 1} \right]\\dv = dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}\\v = x\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow K = \left. {x\ln \left[ {x + 1} \right]} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x + 1}}dx} \] \[ = 3\ln 4 - 2\ln 3 - \int\limits_2^3 {\left[ {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \] \[ = 6\ln 2 - 2\ln 3 - \left. {\left[ {x - \ln \left[ {x + 1} \right]} \right]} \right|_2^3\] \[ = 6\ln 2 - 2\ln 3 - 3 + \ln 4 + 2 - \ln 3\] \[ = 8\ln 2 - 3\ln 3 - 1\].
\[ \Rightarrow I = J - K\] \[ = 2\ln 2 - 1 - \left[ {8\ln 2 - 3\ln 3 - 1} \right]\] \[ = 3\ln 3 - 6\ln 2\]
LG câu e
e] \[\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left[ {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right]{e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\[\int\limits_a^b {u\left[ x \right]d\left[ {v\left[ x \right]} \right]} \] \[ = \left. {\left[ {u\left[ x \right]v\left[ x \right]} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left[ x \right]d\left[ {u\left[ x \right]} \right]} \]
Lời giải chi tiết:
\[I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left[ {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right]{e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \]\[ = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left[ {x - \dfrac{1}{x}} \right]{e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \] \[ = J + K\] với \[J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx\] và \[K = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left[ {x - \dfrac{1}{x}} \right]{e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \]
+] Tính \[J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{x + \dfrac{1}{x}}}\\dv = dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]dx\\v = x\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow J = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left[ {x - \dfrac{1}{x}} \right]{e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \] \[ = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - K\] \[ = 2{e^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K\]
Suy ra \[I = J + K\] \[ = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K + K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}}\].
LG câu g
g] \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\[\int\limits_a^b {u\left[ x \right]d\left[ {v\left[ x \right]} \right]} \] \[ = \left. {\left[ {u\left[ x \right]v\left[ x \right]} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left[ x \right]d\left[ {u\left[ x \right]} \right]} \]
Lời giải chi tiết:
\[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \]
Đặt \[u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\] \[ \Rightarrow du = dx\]. Ta tìm \[v = \int {\cos x{{\sin }^2}xdx} \].
Đặt \[\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx\]
\[ \Rightarrow \int {\cos x{{\sin }^2}xdx} = \int {{t^2}dt} \] \[ = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C\]
Chọn \[v = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}\] ta có:
\[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \]\[ = \left. {\dfrac{{x{{\sin }^3}x}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}dx} \] \[ = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]\sin xdx} \] \[ = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow dt = - \sin xdx\]
\[ \Rightarrow J = \int\limits_1^0 {\left[ {1 - {t^2}} \right].\left[ { - dt} \right]} \] \[ = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - {t^2}} \right]dt} \] \[ = \left. {\left[ {t - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right]} \right|_0^1 = \dfrac{2}{3}\]
Vậy \[I = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\] \[ = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{2}{9}\].