Loại nghiệm bằng phương pháp đại số
|
 I.Phương pháp loại nghiệm bằng hình học. 1.Phương pháp. Khi giải pt lượng giác có chứa ẩn ở mẫu chúng ta thường đặt điều kiện: x và khi giải phương trình chúng ta tìm được x = . Để loại đi nghiệm không thích hợp ta làm như sau: 1) Biểu diễn trên 1 đường tròn lượng giác p điểm ngọn của cung và n điểm ngọn của cung . 2) Lấy nghiệm pt là các điểm ngọn của cung mà không trùng với cung . Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề 1: Loại nghiệm không thích hợp trong phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Chuyên đề1: loại nghiệm không thích hợp trong phương trình lượng giác. I.Phương pháp loại nghiệm bằng hình học. 1.Phương pháp. Khi giải pt lượng giác có chứa ẩn ở mẫu chúng ta thường đặt điều kiện: x và khi giải phương trình chúng ta tìm được x = . Để loại đi nghiệm không thích hợp ta làm như sau: 1) Biểu diễn trên 1 đường tròn lượng giác p điểm ngọn của cung và n điểm ngọn của cung . 2) Lấy nghiệm pt là các điểm ngọn của cung mà không trùng với cung . 2. Các ví dụ. VD1.Giải pt sau. Giải. Điều kiện: ( m Z ) Khi đó: cotx - 1 = (Cosx - sinx) = 2cosx(cosx - sinx) = (Cosx - sinx) ( k Z ) y . Từ điều kiện ta thấy nghiệm bị loại, do đó ta sẽ biểu diễn trên đường tròn lượng giác . . . điểm ngọn các cung ; ; . o x . . Ta thấy điểm ngọn cung trùng nên bị loại. Vậy nghiệm của pt là: x = Bài tập.Giải các phương trình sau. 1) Đs: x = 2) 2tanx + cotx = + Đs: x = 3) 4) 5) 6) 2Sin3x - = 2Cos3x + 7) 5( Sinx + ) = Cos2x + 3 II. Phương pháp loại nghiệm bằng đại số. VD2.Giải pt sau: Giải. Điều kiện: Khi đó: sinx sinxcos5x = sin5xcos9x Sin6x = Sin14x Với x = ta có Sin5x = sin = Sin( + m) = Sin 0 k m 4k Cos9x = cos = cos() = cos 0 m 2 + 4k Từ m 4k , m 2 + 4k ta có m = 1 + 4k hoặc m = 3 + 4k Vậy nghiệm pt là: x = + k ; x = + k Với x ta có Sin5x = Sin() 0 k 1 + 2m 4k đúng với mọi m, k Z Cos9x = Cos() 0 18m 1 + 20k đúng với mọi m, k Z Vậy các nghiệm của pt là: x = + k ; x = + k ; x VD3.Giải pt: Giải Điều kiện: ( k Z ) Khi đó: cosx - 2sinxcosx = (1 + sinx - 2sin2x) Cosx - sin2x = (sinx + cos2x) Cosx - sinx = sin2x + cos2x Cosx - sinx = sin2x + cos2x Cos(x + ) = Cos(2x - ) ( m Z) Ta thấy nghiệm x = + m2 bị loại, ta xét x - + k2 1 + 6m 18k đúng m, k Z + k2 6m 11 + 18k đúng m, k Z + k2 6m 5 + 18k đúng m, k Z Vậy nghiệm của pt là: x ( m Z) Bài tập.Giải các pt sau: 1) Cot3xcotx = 1 2) Cos3xtan5x = sin7x Đs: x =; x = 3) 4) tan5xtan2x = 1 5) tanx - 3cotx = 4(sinx + cosx) Tài liệu đính kèm:
MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC1Khuất Văn Thanh11/11/2007Đại số hóa phương trình lượng giácVề nguyên tắc mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặtẩn phụt = tanx2(1)với điều kiện cosx2= 0, tức là cần kiểm tra lại rằng x = π + k2π có phải là nghiệmkhông, sau đó xét x = π + k2πMột hạn chế của phép đặt ẩn phụ (1) là sự tăng gấp đôi số bậc của phương trình. Mộtsố phương trình khi đặt ẩn phụ có thể dẫn đến phương trình đại số bậc cao, để giảiđược học sinh cần biết phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của phương trình đại số bậccao và kĩ thuật dùng lược đồ Hoocne để tính toán.Với giới hạn kiến thức trong trường phổ thông ta tạm phân loại sau đây:Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giácVí dụ 1. Cho phương trình : cos 2x + sin2x + b cos x + 1 = 0.1. Giải phương trình khi b = 22. Tìm b để phương trình có nghiệm.Ví dụ 2. Giải phương trìnhsin x + tanx2= 2Ví dụ 3. Cho phương trình :sin4x + cos4x + m sin x cos x = 0, 5Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.Các bạn nên giải các ví dụ trên và lưu ý rằng ta hay gặp những biểu thức như:sin3x + cos3x; sin4x + cos4x; sin6x + cos6x; (2)1Tải về từ: http://thanhmath.wordpress.com or http://thanhmath.googlepages.com1Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x ; phương trình đốixứng với tan x và cot xTất cả các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x đều có thể biểu diễn theohai biểu thức đối xứng cơ bản là:sin x + cos x và sin x cos x (3)ví dụ như các biểu thức (2). Mặt khác do đẳng thức sin2x + cos2x = 1 nên nếu đặtẩn phụt = sin x + cos x (4)thì các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x có thể biểu diễn theo t. Các bạn thửchứng minh đẳng thức:Sn= sinnx + cosnx = Sn−1.S1− Sn−2.(S21− 12)Sn= tannx + cotnx = S1.Sn−1− Sn−2Một chú ý là khi đặt ẩn phụ trong (4) phải tìm ngay điều kiện của t hay nói cách kháclà tìm miền giá trị của t, điều này rất cần thiết với những bài toán giải và biện luậnPT theo tham số.Để nắm chắc vấn đề các bạn nên giải các ví dụ sau:Ví dụ 4. Cho phương trình: sin x cos x = 6(sin x + cos x + m)a) Giải PT với m = −1b) Tìm m để PT có nghiệmVí dụ 5. Giải phương trình: 1 + sin3x + cos3x =32sin 2xVí dụ 6. Cho phương trình:3sin2x+ 3 tan2x + m(tan x + cot x) − 1 = 0a) Giải pt với m = 4b) Tìm m để PT có nghiệm.Ví dụ 7. Cho phương trình :tan2x + cot2x = m(tan x − cot x)Tìm m để pt có nghiệm.2Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sin x và cos xNếu f(u, v) là đa thức của u, v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thì f (u, v)gọi là đa thức đẳng cấp bậc k của u và v Khi đóf(αu, αv) = αk.f(u, v)Tuy nhiên khi u = sin x; v = cos x thì việc xét bậc sẽ không đơn giản như vậy vìsin2x+ cos2x = 1. Chẳng hạn: u2v3là đơn thức bậc 5 nhưng u2v3= sin2x cos3x(sin2x+cos2x) = sin4x cos3x + sin2x cos5x thành thử u2v3được viết thành tổng của hai đơnthức bậc 7. Như vậy các đơn thức của sin x và cos x chỉ cần có cùng bậc chẵn hoặccùng bậc lẻ lập tức được coi là đẳng cấp. Khi đó xét trường hợp cos x = 0 thử vào pt,còn trường hợp cos x = 0 thì chai cả hai vế cho coskxVí dụ 8. Giải PT:2 sin3x = cos xVí dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:m sin 2x + cos 2x + sin2x + m = 0Trong phần sau sẽ nói về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và tính chất củahàm số để giải PT lượng giác.Tài liệu tham khảo[1] Phan Đức Chính ,Vũ Dương Thụy,Đào Tam, Lê Nhất Thống, Các bài giảngluyện thi môn toán , Nhà xuất bản giáo dục, 1999, tập I.3 Với nhiều phương trình lượng giác ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp.
1. Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: Khi đó Thay Suy ra không thoả mãn (*) . Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 2. Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện:
Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Từ đó ta có nghiệm của phương trình (2) là: 3. Phương pháp đại số. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: Điều kiện Khi đó: Gía trị này là nghiệm của (1) nếu: Điều này đúng vì Vậy nghiệm của phương trình (3) là (Mod Toán)
|
