Với Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng [P] theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng [P] một khoảng h Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết cách giải bài Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng [P] theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng [P] một khoảng h. .
Phương pháp giải
Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:
Tâm I thuộc đường thẳng d nên I [x0+at; y0+bt; z0+ct]
Sử dụng công thức
d[I;[P]]
d[I;[P]]=h
⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm
Gọi R là bán kính mặt cầu
⇒ R=√[r2 +h2 ]
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
và [P]: 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm I thuộc Δ; I cách [P] một khoảng bằng 2 và [P] cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn giao tuyến [C] có bán kính bằng 3.
Hướng dẫn:
Phương trình tham số của
I thuộc Δ nên I [-t; -1 + 2t; 1+ t]
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
h=d[I;[P]]
Theo đề bài, I cách [P] một khoảng bằng 2 nên d[I;[P]]=2
⇔ |-1-2t|=2
Gọi R là bán kính của mặt cầu
Ta có: R
Vậy có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn là:
[x+1/2]2 +y2 +[z-3/2]2=13
[x-3/2]2 +[y+4]2 +[z-1/2]2=13
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng [P]: 2x – 3y – z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm E thuộc tia Ox sao cho mặt phẳng [P] cách E một khoảng bằng √14 và cắt mặt cầu [S] theo thiết diện là đường tròn có đường kính bằng 4.
Hướng dẫn:
Tâm E thuộc tia Ox nên E [a; 0; 0]
Khoảng cách từ E đến mặt phẳng [P] là:
d[E;[P]]
Theo giả thiết, khoảng cách từ E đến mặt phẳng [P] bằng √14
Gọi R là bán kính mặt cầu
Ta có: R
Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn:
[x-8]2 +y2 +z2=18
[x+6]2 +y2 +z2=18
Bài viết liên quan
« Bài kế sau Bài kế tiếp »
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách: Phương pháp giải. Kiến thức cần nhớ: 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt. 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu. Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: 2y – 2z + 1= 0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x2 + y2 + 22 + 2c – 44 – 22 – 3 = 0. Mặt cầu [S] có tâm I[-1; 2; 1] và bán kính R= V[-1]^2 + 12 + 3 = 3. Do [P] song song với mặt phẳng [Q] nên phương trình của mặt phẳng [P] có dạng: x + 2y – 2z + D = 0, D + 1. Ví dụ 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình: x2 + y + 2 – 2x + 6g – 43 – 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với giá của véctơ n = [1; 6; 2], vuông góc với mặt phẳng [a]: x + 4 và tiếp xúc với [S]. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -3; 2] và bán kính R = 4. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [a] là I = [1; 4; 1]. Suy ra vectơ pháp tuyến của [P] là: P = [2; -1; 2]. Phương trình của [P] có dạng: 20 – 2x + m = 0. Vì [P] tiếp xúc với [S] nên d[I, [P]]. Vậy phương trình mặt phẳng [P]: 23 – g + 22 + 3 = 0 hoặc [P]: 2x – 4 + 2z – 21 = 0. Ví dụ 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: c2 + y2 + 2 + 2x – 40 – 4 = 0 và mặt phẳng [P]: 04 – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua điểm M[3; 1; -1] vuông góc với mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt cầu [S]. Mặt cầu [S] có tâm I[-1; 2; 0] và bán kính R = 3; mặt phẳng [P] có véctơ pháp tuyến [1; 0; 1]. [Q]: 2x + 2y + z – 6 = 0 hoặc [Q]: 100 – 10g + 2z – 5 = 0. Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: x + y2 + x2 – 2x + 4 + 2x – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Ox và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có bán kính r = 3. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; -1], bán kính R = 3. Mặt phẳng [P] chứa Ox, nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng: ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên [P] đi qua tâm I. Suy ra: – 2a – b = 0 + b = -2a[a + 0] » [P]: y – 2 = 0. Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S] : 22 + 2x – 2y + 2x – 1 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có bán kính r = 1. [P]: x + y – 3 – 4 = 0. Với [2] + [P] : 7 – 17x + 5 – 4 = 0. Ví dụ 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S], mặt phẳng [a] có phương trình 2x + 2y – 8 + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [8] song Song với [a] và cắt mặt cầu [S] theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6T. Do [a] || [8] nên mặt phẳng [8] có phương trình 2x + 2y = 0. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; 3], bán kính R = 5. Đường tròn giao tuyến có chu vi 60 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ 1 tới [3] là h = R2 = r2. Vậy [8] có phương trình 2x + 2y – 3 – 7 = 0.
Ví dụ 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c] trong đó b, c dương và mặt phẳng [P]: y = 0. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] biết mặt phẳng [ABC] vuông góc với mặt phẳng [P] và khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng [ABC] bằng 3. Vậy phương trình mặt phẳng [ABC]: 1 + 2y + 2 = 1.