VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Diện tích hình tròn, hình quạt tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Diện tích hình tròn Diện tích hình tròn bán kính R là S = πR2. 2. Diện tích hình quạt tròn Định nghĩa 1. Hình quạt tròn là một phần hình tròn bao gồm giữa một cung tròn và hai bán kính qua hai đầu mút của cung đó. Trong hình minh họa bên, ta có hình quạt tròn AOB [miền in đậm]. Diện tích hình quạt n ◦ bán kính R được cho bởi: Squạt = πR2n 360. A B O 3. Diện tích hình viên phân Định nghĩa 2. Hình viên phân là một phần hình tròn bao gồm giữa một cung tròn và dây trương cung đó. Trong hình minh họa bên, ta có hình viên phân AmB [miền in đậm]. Diện tích hình viên phân AmB được cho bởi: SAmB = SquạtAOB − S4AOB. O m A B B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. [Bài 77/tr 98 – Sgk] Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4 cm. LỜI GIẢI. Hình tròn nội tiếp hình vuông có đường kính d bằng cạnh hình vuông: d = 4 cm. Hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh 4 cm là: S = πd2 4 = π4 2 4 = 4π ≈ 12,56 cm2. VÍ DỤ 2. Tính diện tích hình tròn, biết: 1 Bán kính bằng 8 cm. 2 Đường kính bằng 12 cm. 3 Chu vi của đường tròn đó bằng 18π. LỜI GIẢI. 1 Với giả thiết, ta có: R = 8 cm ⇒ S = π · 8 2 = 64π cm2. 2 Với giả thiết, ta có: 2R = 8 cm ⇔ R = 4 cm ⇒ S = π · 4 2 = 16π cm2. 3 Với giả thiết, ta có: 2πR = 18π ⇔ R = 9 cm ⇒ S = π · 9 2 = 81π cm2. VÍ DỤ 3. [Bài 81/tr 99 – Sgk] Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu: 1 Bán kính tăng gấp đôi? 2 Bán kính tăng gấp ba? 3 Bán kính tăng gấp k lần [k > 1]? LỜI GIẢI. Diện tích hình tròn có bán kính [kR] là S = π[kR] 2 = k 2 [πR]. 1 Nếu bán kính tăng gấp đôi thì diện tích hình tròn tăng gấp 4 lần. 2 Nếu bán kính tăng gấp ba thì diện tích hình tròn tăng gấp 9 lần. 3 Nếu bán kính tăng gấp k lần thì diện tích hình tròn tăng gấp k 2 lần. VÍ DỤ 4. [Bài 79/tr 98 – Sgk] Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính bằng 6 cm và góc ở tâm tương ứng là 36◦. LỜI GIẢI. Ta có ngay Squạt = πR2n 360 = π6 236 360 ≈ 11,3 cm2. VÍ DỤ 5. Tính diện tích hình viên phân AmB [hình trên], biết AOB ’ = 60◦ và bán kính đường tròn bằng 8 cm. LỜI GIẢI. Ta có ngay SAmB = SquạtAOB − S4AOB = π8 260 360 − 8 2 √3 4 ≈ 5,79 cm2. VÍ DỤ 6. [Bài 87/ tr 100 – Sgk] Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành. LỜI GIẢI. Bạn đọc tự vẽ hình. Gọi O là trung điểm của BC, ta có OB = OC = a 2. Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm của AB và AC với đường tròn đường kính BC. Dễ thấy OAB, OEC là các tam giác đều. Từ đó, ta có diện tích của hai hình viên phân gạch sọc là S = 2 πa2 24 − 1 2 · a 2 · a 2 · √3 2 ô = π 12 − √3 8 ô a 2 ≈ 0,045a 2. VÍ DỤ 7. Cho 4ABC vuông tại A có AB = 10 m, B = 60◦. Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC và đi qua điểm A. Tính tổng diện tích hai hình viên phân ứng với cung AB và cung AC. LỜI GIẢI. Tổng diện tích hai hình viên phân bằng diện tích nửa hình tròn trừ đi diện tích tam giác 4ABC. Diện tích nửa đường tròn: πOB2 2 = π · 100 2 = 50π m2. Với 4ABC, ta có: AC = AB · tan 60◦ = 10√3 m; BC = 2AB = 20 m. O C A B Diện tích tam giác ABC: S4ABC = 1 2 AB · AC = 1 2 10 · 10√3 = 50√3 m2. Suy ra, tổng diện tích hai hình viên phân bằng 50π − 50√3 = 50[π − √3] m2. VÍ DỤ 8. [Bài 83/tr99 – Sgk] 1 Vẽ lại hình sgk [tạo bởi các cung tròn] với HI = 10 cm và HO = BI = 2 cm. Nêu cách vẽ. 2 Tính diện tính hình HOABINH [miền gạch sọc]. 3 Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó. LỜI GIẢI. Bạn đọc tự vẽ hình 1 Cách vẽ: Kẻ đường thẳng HI = 10 cm. Vẽ cung tròn HI có số đo bằng 180◦. Lấy O thuộc đoạn HI sao cho HO = 2 cm. Vẽ cung tròn HO có số đo bằng 180◦ của đường tròn [S1; 5cm]. Lấy B thuộc đoạn HI sao cho BI = 2 cm. Vẽ cung tròn BI có số đo bằng 180◦ của đường tròn [S2; 1cm]. Vẽ cung tròn BO có số đo bằng 180◦ của đường tròn [S3; 1cm]. 2 Ta có diện tích hình gạch sọc là S = π HI2 8 + π OB2 8 − π HO2 4 = π . 100 8 + 36 8 − 4 4 ã = 16π[cm2]. Ta có AN = 3 + 5 = 8 [cm]. 3 Diện tích hình quạt tròn đường kính NA là S = π8 2 4 = 16π[cm2]. VÍ DỤ 9. Tính diện tích của phần gạch sọc trên hình. LỜI GIẢI. Diện tích phải tìm bằng hiệu của diện tích hình thang vuông ABCD và hình quạt 30◦. Kẻ DH ⊥ BC, ta được: DH = CD · sin 30◦ = a 2, HC = CD · cos 30◦ = a √3 2, AD = BH = BC − HC = a − a √3 2. B H C D A 30◦ a Khi đó, ta có: SABCD = 1 2 Ç a + a − a √3 2 . a 2 = a 2 2 − a √3 8 và Squạt = πa2 12. Diện tích phải tìm: S = SABCD − Squạt = a 2 2 − a √3 8 − πa2 12 = a 2 24 12 − 3 √3 − 2π ≈ 0,025a 2. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP BÀI 1. Một hình vuông và một hình tròn có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? LỜI GIẢI. Gọi C là độ dài chu vi của hình vuông và hình tròn. Gọi a là độ dài cạnh hình vuồn, suy ra C = 4a ⇔ a = C 4 ⇒ Shv = a 2 = C 2 16. Gọi R là bán kính của hình tròn, suy ra: C = 2πR ⇔ R = C 2π ⇒ Shv = πR2 = π C 2 4π 2 = C 2 4π > C 2 16. Vậy diện tích hình tròn lớn hơn hình vuông. BÀI 2. Cho 4ABC đều nội tiếp đường tròn [O; 6cm].
Tính diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC. LỜI GIẢI. Hướng dẫn: Ta có ngay SBmC = SquạtBOC − S4BOC. BÀI 3. Hình vành khăn là phần hình tròn bao gồm giữa hai đường tròn đồng tâm. Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bởi đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh 6 cm. LỜI GIẢI. Gọi R, r theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều, ta có: R = a 2 sin 180◦ 3 = 6 2 sin 60◦ = 2√3cm ⇒ Sngoại tiếp = πR2 = π[2√3]2 = 12πcm2. r = a 2 tan 180◦ 3 = 6 2 tan 60◦ = √3cm ⇒ Snội tiếp = πr2 = π[√3]2 = 3πcm2. Khi đó hình vành khăn có diện tích S = Sngoại tiếp − Snội tiếp = 12π − 3π = 9π cm2.
LIVESTREAM 2K4 ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ - 2k5 - Livestream TOÁN thầy QUANG HUY
Toán
Xem thêm ...
1. Các kiến thức cần nhớ
Công thức tính diện tích hình tròn
Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức \[S = \pi {R^2}\]
Công thức tính diện tích hình quạt tròn
Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$, cung \[n^\circ \] được tính theo công thức
\[S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\,\,hay\,\,\,S = \dfrac{{l.{\rm{R}}}}{2}\] [ với $l$ là độ dài cung \[n^\circ \]của hình quạt tròn].
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và các đại lượng liên quan
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính diện tích hình tròn \[S = \pi {R^2}\] và diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung \[n^\circ \]
\[S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\,\,hay\,\,\,S = \dfrac{{l.{\rm{R}}}}{2}\] [với $l$ là độ dài cung \[n^\circ \]của hình quạt tròn]
Dạng 2 : Bài toán tổng hợp
Phương pháp :
Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kinh đường tròn. Từ đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.
87. 86. §10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Khi bán kính tăng gấp đôi thì diện tích hình tròn có tăng gấp đôi không ? k ] Công thức tính diện tích hình tròn Diện tích s của một hình tròn bán kính R [h. 58] được tính theo công thức s= tcR2. Cách tính diện tích hình quạt tròn Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó. - Ở hình 59, ta có hình quạt tròn OAB, tâm o, bán kính R, cung n°. Hình 58 Hãy điền biểu thức thích hợp vào các chỗ trống [...] trong dãy lập luận sau : Hình tròn bán kính R [ứng với cung36ữ°] có diện tích là ... . Vậy hình quạt tròn bán kính R, cung 1° có diện tích là ... . Hình quạt tròn bán kính R, cung n° có diện tích s = .... , 7ĩR2n . , .3 „ nRn R rcRn . Biểu thức còn có thế viết là nhưng chính là độ 360 180 2 loO /R dài / của cung n° của hình quạt tròn. Vậy s = -y. Như vậy, diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° được tính theo cộng thức [/ là độ dài cung n° của hình quạt tròn]. Bài tập Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4 cm. Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 12 m. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông ? Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6 cm, số đo cung là 36°. Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB - 40 m, AD = 30 m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc : Mỗi dây thừng dài 20 m. Một dây thừng dài 30 m và dây thừng kia dài 10 m. Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn [h. 60]? Hình 60 Diện tích hình tròn sẽ thay đổi thế nào nếu : Bán kính tăng gấp đôi ? Bán kính tăng gấp ba ? Bán kính tăng k lần [k > 1] ? a] b] Hình 61 Điền vào ô trống trong bảng sau [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất]: Bán kính đường tròn [R] Độ dài đường tròn [C] Diện tích hình tròn [S] Số đo của cung tròn [n°] Diện tích hình quạt tròn cung n° 13,2 cm 47,5° 2,5 cm 12,50 cm2 37,80 cm2 10,60 cm2 Luyện tập N a] Vẽ hình 62 [tạo bởi các cung tròn] với HI = 10 cm và HO = BI = 2 cm. Nêu cách vẽ. Tính diện tích hình HOABINH [miền gạch sọc]. Chứng tỏ ràng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó. a] Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh c của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ [h. 63]. A Tính diện tích miền gạch sọc. 85. Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm AOB = 60° và bán kính đường tròn là 5,1 cm [h. 64]. Hình 64 Hình 65 Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm [h. 65]. Tính diện tích s của hình vành khãn theo Rị và Rợ [giả sử Rị > Rợ ]. Tính diện tích hình vành khăn khi R] = 10,5 cm, Ro = 7,8 cm. Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.