Những bài tập về phương trình đường thẳng lớp 10

Bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 được chia thành khá nhiều dạng như ở dưới đây. Để làm tốt các dạng bài tập trên, chúng tôi giới thiệu đến các em một số tài liệu và phương pháp giải cực hay và đầy đủ. Mong rằng những tài liệu dưới đây sẽ một phần giúp các em chinh phục dạng toán này. Và đặc biệt có thể giúp các em dễ dàng vượt qua kì thi định kì trên trường.

• Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
• Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng
• Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng

TẢI XUỐNG PDF 1 ↓

Tài liệu về bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 cực hay

Tổng hợp phương pháp giải và bài tập phương trình đường thẳng thầy Nguyễn Bảo Vương

79 bài tập phương trình đường thẳng có lời giải chi tiết

TẢI XUỐNG PDF 2 ↓

Lý thuyết phương trình đường thẳng

Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a. Định nghĩa: Cho đường thẳng [Delta ]. Vectơ [overrightarrow{n}ne ] gọi là vectơ pháp tuyến [VTPT] của [Delta ] nếu giá của [overrightarrow{n}] vuông góc với [Delta ]. Nhận xét : – Nếu [overrightarrow{n}] là VTPT của [Delta ] thì [k.overrightarrow{n}[kne 0]] cũng là VTPT của [Delta ].

Nếu đường thẳng [Delta :ax+by+c=0] thì [=[a;b]] là VTPT của [Delta ].

c. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

• [Delta ] song song hoặc trùng với trục [OxLeftrightarrow Delta :by+c=0] • [Delta ] song song hoặc trùng với trục [OyLeftrightarrow Delta :ax+c=0] • [Delta ] đi qua gốc tọa độ [Leftrightarrow Delta :ax+by=0] • [Delta ] đi qua hai điểm [A[a;0],B[0;b]] [Leftrightarrow Delta :frac{x}{a}+frac{y}{b}=1] với [[abne 0]] • Phương trình đường thẳng có hệ số góc [k] là [y=kx+m] với [k=tan alpha ], [alpha ] là góc hợp bởi tia Mt của [Delta ] ở phía trên trục Ox và tia Mx

Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.

Dạng 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Dạng 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Dạng 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng

Bài tập vận dụng phương trình đường thẳng có lời giải

Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu qua một số bài tập phương trình đường thẳng lớp 10. Đây là một chủ đề nền tảng để học các kiến thức khó hơn như: tọa độ không gian trong chương trình lớp 12. Do đó, các em cần học bằng một thái độ vô cùng nghiêm túc đối với loại bài tập này. Lời cuối cùng, xin chúc các em học thật tốt.

Từ khóa:

• bài tập phương trình đường thẳng lớp 12
• phương trình đường thẳng oxyz
• lý thuyết phương trình đường thẳng lớp 10
• phương trình đoạn chắn lớp 10
• các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 12
• viết phương trình đường cao lớp 10
• bài tập về phương trình tổng quát của đường thẳng

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Với loạt Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

A. Lí thuyết tổng hợp

1. Các vectơ của đường thẳng:

+] Vectơ chỉ phương: Vectơ

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu # 0 và giá của song song hoặc trùng với  .

+] Vectơ pháp tuyến: Vectơ

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu # 0 và vuông góc với vectơ chỉ phương của  .

+] Nhận xét: 

- Nếu

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì k [k#0] cũng là một vectơ chỉ phương của  .

- Nếu

là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k [k#0] cũng là một vectơ pháp tuyến của  .

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến. 

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: 

+] Định nghĩa: Phương trình

: ax + by + c = 0 [a2 + b2 # 0] là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận  [a; b] làm vectơ pháp tuyến.

+] Các dạng đặc biệt: 

: ax + c = 0 , a#0   song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0.

: ay + c = 0 , a#0   song song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0.

: ax + by = 0 , a2 + b2 # 0  đi qua gốc tọa độ O[0; 0]

3. Phương trình tham số của đường thẳng: 

+] Định nghĩa: Hệ

, a2 + b2 # 0 là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A[x0;y0] và nhận vectơ [a;b] làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.

+] Chú ý:

Với mỗi t

R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M [x; y]  

Một đường thẳng có vô số phương trình tham số. 

- Phương trình chính tắc:

[a.b#0] là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M[x0;y0] và nhận [a;b] làm vectơ chỉ phương.

- Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng

cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A [a; 0], B [0; b] với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là  = 1.

4. Hệ số góc: 

Phương trình đường thẳng

đi qua điểm M[x0;y0] có hệ số góc k thỏa mãn: y - y0 = k[x-x0]

+ Nếu

có vectơ chỉ phương = [u1;u2] với u1#0 thì hệ số góc của là k =

+ Nếu

có hệ số góc k thì  có vectơ chỉ phương là  = [1;k]

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 

+] Xét hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: 

  [1]

Ta có các trường hợp sau: 

TH1: Hệ [1] có duy nhất một nghiệm [x0;y0]

d1d2 tại M[x0;y0]

TH2: Hệ [1] có vô số nghiệm

d1 trùng với d2

TH3: Hệ [1] vô nghiệm

d1//d2

+] Chú ý: Với a2, b2, c2 #0 ta có:

d1

d2

d1//d2  

d1

d2

6. Góc giữa hai đường thẳng: 

+ Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến

và d2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0, góc giữa hai đường thẳng đó được kí hiệu là [d1,d2], [d1,d2] luôn nhỏ hơn hoặc bằng . Đặt = [d1,d2] ta có:

cos

= |cos| =

+ Chú ý: 

d1

d2  a1a2 +  b1b2 = 0

Nếu d1 và d2  có phương trình đường thẳng là y = k1x + m1 và y = k2x + m2  thì d1

d2 k1k2 = -1

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng

có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M[x0;y0]. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d [M,  ] và tính bằng công thức:

d [M,

] =

B. Các dạng bài. 

Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng. 

Phương pháp giải:

a] Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng

 

+ Tìm vectơ pháp tuyến

[a; b] của đường thẳng  

+ Tìm một điểm M[x0;y0] thuộc

 

+ Viết phương trình theo công thức: a[x-x0] + b[y-y0] = 0

+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0

Nếu đường thẳng

song song với đường thẳng : ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.

Nếu đường thẳng

vuông góc với đường thẳng  : ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.

b] Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

+ Tìm vectơ chỉ phương

= [u1;u2] của đường thẳng  

+ Tìm một điểm M[x0;y0] thuộc

 

+ Viết phương trình tham số:

Nếu

có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương = [1;k]

Nếu

có vectơ pháp tuyến [a;b] thì có vectơ chỉ phương = [-b;a] hoặc  = [b;-a] và ngược lại.

c] Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng

. [chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương = [a;b] với a.b#0]

+ Tìm vectơ chỉ phương

= [a;b] [a.b#0] của đường thẳng  

+ Tìm một điểm M[x0;y0] thuộc

 

+ Viết phương trình chính tắc:

d] Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng

 [chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy]

+ Tìm hai giao điểm của

  với trục Ox, Oy lần lượt là A[a; 0], B[0; b]

+ Viết phương trình đoạn chắn

 = 1 [a.b#0].

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A[0; 5] và B[6; 0]. Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng d. 

Lời giải:

Vì A[0; 5] và B[6; 0] thuộc đường thẳng d nên ta có

 là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

= [6-0;0-5] = [6;-5]

Vectơ pháp tuyến của d là  [5;6]

Chọn điểm A[0; 5] thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d: 

5.[x – 0] + 6.[y – 5] = 0

  5x + 6y – 30 = 0

Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A[0; 5] và B[6; 0] nên ta có phương trình đoạn chắn:

 = 1.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M[5; 8] và N[3; 1]. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. 

Lời giải:

Vì M[5; 8] và N[3; 1] thuộc đường thẳng d nên ta có

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có = [3 – 5; 1 – 8] = [-2; -7]

Chọn điểm N[3; 1] thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn điểm M[5; 8] thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:  

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải: 

Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0. 

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: 

  [1]

Với a2, b2, c2 #0 ta có:

d1

d2

d1//d2  

d1

d2

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a] d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0.

b] d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0.

c] d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0.

Lời giải:

a] Xét hai đường thẳng d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0 có: 

d1  và d2 cắt nhau.

b] Xét hai đường thẳng d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0 có: 

= 6 # = 2 d3//d4

c] Xét  hai đường thẳng d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0 có:

= 2 d5d6

Bài 2: Cho hai đường thẳng: d1: x - 2y + 5 = 0 và d2 : 3x - y = 0. Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2. 

Lời giải:

Xét tỉ số:

d1 d2 . Gọi tọa độ giao điểm của d1 và d2 là M[x; y] với x và y là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy d1

d2  tại M [1; 3].

Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về góc giữa hai đường thẳng: 

- Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến

và d2: a2x + b2y + c2 = 0  có vectơ pháp tuyến với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0, góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là [d1,d2], [d1,d2] luôn nhỏ hơn hoặc bằng Đặt = [d1,d2] ta có:

cos

= |cos| =

- Chú ý: 

d1

d2  a1a2 +  b1b2 = 0

d1

d2  x1x2 + y1y2 = 0 với = [x1;y1] là vectơ chỉ phương của d1, = [x2;y2]là vectơ chỉ phương của d2.

Nếu d1 và d2 có phương trình đường thẳng là y =  k1x + m1 và y = k2x + m2 thì d1

d2 k1k2 = -1

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho hai đường thẳng d:

và d’: . Xác định số đo góc giữa d và d’.

Lời giải:

Xét d:

ta có vectơ chỉ phương của d là =  [-2; -1]

Vectơ pháp tuyến của d là  = [1; -2].

Xét d’:

ta có vectơ chỉ phương của d’ là = [1; 3]

 Vectơ pháp tuyến của d’ là = [-3; 1].

Ta có: 

cos[d;d'] = |cos[

]| = 

Góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng

 [d;d'] = .

Bài 2: Cho hai đường thẳng d: 4x – 2y + 6 = 0 và d’: x + 2y + 1 = 0. Xác định số đo góc giữa d và d’. 

Lời giải:

Xét d: 4x – 2y + 6 = 0 ta có vectơ pháp tuyến của d là 

  = [4; -2]

Xét d’: x + 2y + 1 = 0 ta có vectơ pháp tuyến của d’ là

  = [1; 2]

Ta có:

= 4.1 + [-2].2 = 0

 d  d'

 [d;d'] = 

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng

có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M[x0;y0] . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d [M,  ], tính bằng công thức:

 d [M,

] = 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Tìm bán kính của đường tròn tâm C[-2; -2] . Biết đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

 : 5x + 12y -10 = 0.

Lời giải:

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

: 5x + 12y – 10 = 0 nên ta có bán kính của đường tròn bằng khoảng từ tâm C đến đường thẳng  . Ta có:

R = d[C,

 ] = 

Bài 2: Cho điểm A [3; 6]. Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d: 

Lời giải:

Xét đường thẳng d: 

 ta có vectơ chỉ phương của d là   = [-3; 2]

vectơ pháp tuyến của d là 

  = [2; 3]

Chọn điểm M [4; 7] thuộc d ta có phương trình tổng quát của d là:

2.[x – 4] + 3.[y – 7] = 0

 2x – 8 + 3y – 21 = 0

 2x + 3y – 29 = 0

Khoảng cách từ A [3; 6] đến đường thẳng d là: 

d[A;d] = 

C. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết d đi qua 2 điểm A [3; 5] và B [4; 6]. 

Đáp án: d: - x + y = 2

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ biết d’ đi qua 2 điểm A [2; 7] và B [0; 5]. 

Đáp án: d’: 

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm M [1; 6] và N [2; 3] 

Đáp án: d: 

Bài 4: Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + 2 = 0 và d đi qua điểm [2; 3]

Đáp án: d: 4x - 3y + 1 = 0

Bài 5: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d: 3x – 5y + 2 = 0 và đường thẳng   d’: 3x – 5y = 0.

Đáp án: d // d’

Bài 6: Cho đường thẳng d: 2x – 6y + 3 = 0 và đường thẳng d’: x – m + 7 = 0. Tìm m để d // d’. 

Đáp án: m = 3

Bài 7: Cho hai đường thẳng d: 6x – y = 0 và d’: 2x + 8y – 1 = 0. Tìm tọa độ giao điểm I của d và d’. 

Đáp số: I

Bài 8: Cho hai đường thẳng d: 8x – 3y + 2 = 0 và d’: x = 4. Tìm số đo góc giữa d và d’. 

Đáp án: [d;d'] = 

Bài 9: Cho điểm A [4; 7] và đường thẳng d’: x – 6 = 0. Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

Đáp án: d [A, d’] = 2

Bài 10: Cho đường thẳng d:

. Tìm m để khoảng cách giữa A [2; m] và  đường thẳng d là 5.

Đáp số: 

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.