Phương pháp đồng nhất hệ số lớp 9

Ví dụ:Tính $\int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx$

GiảiĐặt: t = x +2 => $x^{2}= (t+2)^{2}$ và $dx = dt$;

$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx$ $=\int \frac{(t-2)^{2}}{t^{2}}dt$

$=\int \frac{t^{2}-4t+4}{t^{2}}dt$

$=\int dt-4\int \frac{1}{t}dt+4\int \frac{1}{t^{2}}dt$

$=t-4ln\left | t \right |-\frac{4}{t}+C$. suy ra: $f(x)= x+2-4ln\left | x+2 \right |-\frac{4}{x+2}+C$

2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số (Đồng nhất thức)

Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của mẫu số $Q(x)$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = \int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx = \int {\left< {H(x) + \frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} \right>} dx = \int {H(x)dx} + \int {\frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} dx = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số.

Ví dụ 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:$a)I = \int {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$$b)I = \int {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$$c)I= \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$

Giải

a) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{x^2} + 3x} \right) + \frac{9}{4}(2x + 3) – \frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}.$Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx $$= \int_{}^{} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}} \right)} dx $$= {\frac{1}{6}{x^3} – \frac{3}{8}{x^2} + \frac{9}{8}x – \frac{{27}}{{16}}\ln |2x + 3|}+ C$

b) Ta có: $\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}.$Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx $ $ = \int_{}^{} {\left( {x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}} \right)} dx $ $ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} – x – 4\ln |x + 1|} \right) + C$c) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \frac{{x\left( {{x^2} – 1} \right) + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}.$Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = \int_{}^{} {\left( {x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}} \right)} dx$ $ = \int_{}^{} x dx + \int_{}^{} {\frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}ln\left| {{x^2} – 1} \right| + C$

Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $

Dạng 1: $\int {\frac{{f"(x)dx}}{{f(x)}}} $

Phương pháp: $\int {\frac{{f"(x)dx}}{{f(x)}}} $ $ = \int {\frac{{d(f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| {f(x)} \right| + C$.

Ví dụ 1: Tính $I = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} dx$

Giải

$I = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} dx $ $= \int {\frac{{d({x^2} + x + 3)}}{{{x^2} + x + 3}}} $ $= \ln \left| {{x^2} + x + 3} \right| + C$

Ví dụ 2: Tính $I = \int {\frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + x – 2}}} dx$

Giải

$I = \int {\frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + x – 2}}} dx = \int {\frac{{d({x^4} + x – 2)}}{{{x^4} + x – 2}}} = \ln \left| {{x^4} + x – 2} \right| + C$

Dạng 2: $\int {\frac{A}{{(ax + {\rm{}}b)(cx + d)}}dx;\Delta = {b^2} – 4ac > 0} $

Phương pháp: Gọi x1;x2 là các nghiệm của mẫu. Phân tích: $\frac{1}{{(x – {x_1})(x – {x_2})}} = – \frac{1}{{{x_2} – {x_1}}}\left( {\frac{1}{{x – {x_1}}} – \frac{1}{{x – {x_2}}}} \right)$

Khi đó: $I = \int_{}^{} {\frac{A}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{A}{{a\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}\int_{}^{} {\left( {\frac{1}{{x – {x_2}}} – \frac{1}{{x – {x_1}}}} \right)} dx$ $\frac{A}{{a\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}\ln \left| {\frac{{x – {x_2}}}{{x – {x_1}}}} \right| + C$

Ví dụ 1: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}}$

Giải

Ta có: $\frac{1}{{(x – 1)(x – 2)}} $$= \frac{A}{{x – 2}} – \frac{B}{{x – 1}} $$= \frac{{A(x – 1) – B(x – 2)}}{{(x – 2)(x – 1)}}$

Thay lần lượt x=1; x=2 vào tử số hai vế ta có:A=1;B=1 

Suy ra: $I = \int {\frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}} $$= \int {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right)} dx $$= \int {\frac{{dx}}{{x – 2}}} – \int {\frac{{dx}}{{x – 1}}} $$= \ln \left| {x – 2} \right| – \ln \left| {x – 1} \right| + C $$= \ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x – 1}}} \right| + C$

Ví dụ 2: Tính $I = \int {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx.$

Giải

Ta có: $f(x) = \frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{1}{{x(x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 1}} + \frac{C}{{x + 1}}$ $ = \frac{{A\left( {{x^2} – 1} \right) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)}}{{x(x – 1)(x + 1)}}.$Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử số.

Xem thêm: Jual Lagu Mp4 Murah - Download Lagu Lagu Indonesia Terbaru Mp3

Ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \to 1 = -A}\\{x = -1 \to 1 = 2C}\\{x = 1 \to 1 = 2B}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = – 1}\\{B = \frac{1}{2}}\\{C = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x – 1}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)$Vậy: $I = \int_{}^{} {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx$ $ = \int_{}^{} {\left( {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x{\rm{ – }}1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{x}} \right)} dx $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {(x – 1)(x + 1)} \right| – \ln |x| + C$. 

Dạng 3:$\int {\frac{A}{{(ax^2 + bx + c)}}dx;\Delta = {b^2} – 4ac = 0} $

Phương pháp: Vì $\Delta = 0$, ta có: $I = \int {\frac{{Adx}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} $ $ = – \frac{A}{{a\left( {x – {x_0}} \right)}} + C$

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $

Giải

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $$= \int {\frac{{dx}}{{{{(x – 1)}^2}}}} $$= \int {{{(x – 1)}^{ – 2}}} d(x – 1) $$= – {(x – 1)^{ – 1}} + C = – \frac{1}{{x – 1}} + C$.

Dạng 4: $I = \int {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, và $\Delta = {b^2} – 4ac>0$

Phương pháp: Vì $\Delta > 0$, Phân tích: $\frac{{Ax + B}}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}} = \frac{1}{a}\left( {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right)$.

Khi đó: $I = \int {\frac{{Ax + B}}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx $$= \frac{1}{a}\int {\left( {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right)} dx $$= \frac{1}{a}(C\ln \left| {x – {x_2}} \right| + D\ln \left| {x – {x_1}} \right|) + E$

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$

GiảiTa có: $f(x) = \frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = \frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}}$ $ = \frac{{A(x + 3) + B(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}}.$

Thay $x = – 2$ vào hai tử số ta được: $3 = A$

Thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$Do đó: $f(x) = \frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}.$

Vậy: $\int {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = \int {\left( {\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)} dx$ $ = 3\ln |x + 2| + \ln |x + 3| +C$.

Dạng 5: $\int {\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}}dx} $

Phương pháp: $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}} = \frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + \frac{B}{{ax + b}} $

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}}dx}$

Giải

Phân tích: $\frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{A}{{{{(2x + 1)}^2}}} + \frac{B}{{2x + 1}} = \frac{{A + B(2x + 1)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{{2Bx + A + B}}{{{{(2x + 1)}^2}}}$. Cân bằng 2 vế tac được A=1;B=1.

Khi đó: $I = \int {\frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)} dx = – \frac{1}{2}.\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$

Dạng 6: $\int {\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}}dx} $

Phương pháp: $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}} = \frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + \frac{B}{{ax + b}} + \frac{C}{{cx + d}}$

Ví dụ:Tính $I = \int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx.$

Giải

Ta có: $\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{(x + 1)}} + \frac{C}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{A{{(x + 1)}^2} + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $(1).$Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 4A}\\{1 = – 2C}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = \frac{1}{4}}\\{C = – \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$$(1) \Leftrightarrow \frac{{(A + B){x^2} + (2A + C)x + A – B – C}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow A – B – C = 1$ $ \Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = – \frac{1}{4}.$Do đó: $\int {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int {\left( {\frac{1}{4}\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{4}\frac{1}{{(x + 1)}} – \frac{1}{2}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right)} dx$ $ = \left< {\frac{1}{4}\ln (x – 1)(x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}}} \right> + C$

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giải giúp tớ bài này : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định : 1.$x^4 - 8x + 63$ 2.$(x+1)^4 + (x^2 + x + 1)^2$ Bình thường thì tớ chỉ gặp dạng phân tích đa thức bậc 4 thành nhân tử bằng pp hệ số bất định. Mà trong đa thức đó không bị khuyết hạng tử nào.

Tớ mong các bạn cho tớ kinh nghiệm và những mẹo vặt để giải những bài như 2 câu trên. Tks!

Bình thường thôi . a)$x^4 - 8x + 63$ Nếu dùng hệ số bất định khi phân tích xong kết quả chắc chắn là : $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ $x^4+x^3(c+a)+x^2(d+ac+b)+x(ad+bc)+bd$ Khi đó có $c+a=0$ ( vì $0.x^3=0)$ $d+ac+b=0$(vì $0.x^2=0)$ Bài này mình tìm ra $a=4,c=-4,b=7,d=9$ Thay vào :$ (x^2+4x+7)(x^2-4x+9)$ Còn phân trình bày mình nghĩ bạn biết. b ) phần này mình nghĩ bạn tách ra rồi làm tương tự.

Thế bạn làm cho mình phần b đi. Bạn nói nghe dễ quá nhỉ

Ah mà 63 phân tích ra thì sẽ có rất nhiều cặp số b,d khác nhau. Chẳng hạn : (b,d) = {(1,63);(21; 3); ...} Nhưng tại sao bạn lại chọn dc (b,d) = (7,9) thế ?

Last edited by a moderator: 5 Tháng bảy 2013