Số điểm cực trị là gì

Cưc đại và cực tiểulà gì? Cách xác định điểm cực trị của hàm số

Định nghĩa điểm cực đại cực tiểu

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$xác định và liên tục trên khoảng$\left( a;b \right)$ (có thể $a$ là $-\infty $; $b$ là $+\infty $) và điểm ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$

a) Nếutồn tại số$h>0$ sao cho$f\left( x \right)0$ sao cho$f\left( x \right)>f\left( {{x}_{0}} \right)$ với mọi $x\in \left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)$ và $x\ne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}$.

Chú ý về điểm cực trị

-Nếu hàm số $f\left( x \right)$đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$được gọi làđiểm cực đại (điểm cực tiểu)của hàm số; $f\left( {{x}_{0}} \right)$ được gọi làgiá trịcực đại (giá trịcực tiểu)của hàm số, ký hiệu là ${{f}_{CD}}\left( {{f}_{CT}} \right)$, còn điểm $M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ được gọi làđiểm cực đại (điểm cực tiểu)củađồ thịhàm số.

-Cácđiểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

-Dễdàng chứng minh được rằng, nếu hàm số $y=f\left( x \right)$có đạo hàm trên khoảng$\left( a;b \right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ${{x}_{0}}$ thì $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0.$

Định lý 1:Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$liên tục trên khoảng $K=\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)$và có đạohàm trên$K$ hoặc trên $K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\},$ với $h>0$.

- Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)>0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}} \right)$và $f'\left( {{x}_{0}} \right)<0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h \right)$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right).$

- Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h \right)$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right).$

Nhận xét:Xét hàm số$y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên$\left( a;b \right)$ và ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right).$

- Nếu$f'\left( x \right)$đổi dấu khi quađiểm${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$là điểm cực trị của hàm số.

-Nếu$f'\left( x \right)$đổi dấutừ dương sang âmkhi quađiểm${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$là điểm cựcđạicủa hàm số.

- Nếu$f'\left( x \right)$đổi dấutừ âm sang dươngkhi quađiểm${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$là điểm cựctiểucủa hàm số.

Chú ý:Hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|$ có đạo hàm là $y'=\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}}}$ không có đạo hàm tại điểm $x=0$ tuy nhiên $y'$ vẫn đổi dấu từ âm sang dươngkhi quađiểm$x=0$ nên hàm số đạtcựctiểu tại điểm $x=0$.

Định lý 2: Giả sử hàm sốcó đạo hàm cấp hai trong khoảng với . Khi đó:

- Nếu $\left\{ \begin{matrix}f'\left( {{x}_{0}} \right)=0\\f''\left( {{x}_{0}} \right)>0\\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.

- Nếu $\left\{ \begin{matrix}f'\left( {{x}_{0}} \right)=0\\f''\left( {{x}_{0}} \right)<0\\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực đại.

Chú ý:Nếu $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì chưa thể khẳng định được ${{x}_{0}}$là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số.

Bài tập:Hàm số $y={{x}^{3}}$ có $\left\{ \begin{matrix}f'\left( 0 \right)=0\\f''\left( 0 \right)=0\\\end{matrix} \right.$ tuy nhiên hàm số này không đạt cực trị tại điểm $x=0$.

Hàm số $y={{x}^{4}}$ có $\left\{ \begin{matrix}f'\left( 0 \right)=0\\f''\left( 0 \right)=0\\\end{matrix} \right.$ tuy nhiên hàm số này đạt cực tiểu tại điểm

Do vậy ta chú ýđịnh lý 2chỉ đúng theomột chiều(không có chiều ngược lại).