Giải Toán 7 Bài 2: Tia phân giác - Chân trời sáng tạo
Thực hành 2 trang 74 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ một góc có số đo bằng 60o rồi vẽ tia phân giác của góc đó.
Lời giải:
Giả sử xOy^=60o, vẽ tia Oz là tia phân giác của xOy^.
Cách vẽ:
- Vẽ xOy^=60o.
- Ta có xOz^=yOz^ và xOz^+yOz^=60o.
Suy ra xOz^=xOy^2=60o2=30o.
- Dùng thước đo góc vẽ tia Oz đi qua một điểm trong của xOy^ sao cho xOz^=30o.
Ta được tia Oz là phân giác của xOy^.
1. Định nghĩa
Với mỗi góc $\alpha $ [${0^0} \leqslant \alpha \leqslant {180^0}$] ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha $ và giả sử điểm M có toạ độ $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$. Khi đó ta định nghĩa :
* sin của góc $\alpha $ là ${y_0}$, kí hiệu $\sin \alpha = {y_0}$;
* côsin của góc $\alpha $ là ${x_0}$, kí hiệu $\cos \alpha = {x_0}$;
* tang của góc $\alpha $ là $\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\left[ {{x_0} \ne 0} \right]$, kí hiệu $\tan \alpha = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$;
* côtang của góc $\alpha $ là $\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}\left[ {{y_0} \ne 0} \right]$, kí hiệu $\cot \alpha = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}$.
Các số sin$\alpha $, cos$\alpha $, tan$\alpha $, cot$\alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $\alpha $.
Chú ý
* Nếu $\alpha $ là góc tù thì cos$\alpha $< 0, tan$\alpha $< 0, cot$\alpha $< 0.
* tan$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, cot$\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne k\pi ,k \in Z.$
2. Tính chất
Ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu $\widehat {xOM} = \alpha $ thì $\widehat {xON} = {180^0} - \alpha $.
Ta có ${y_M} = {y_N} = {y_0};{x_M} = - {x_N} = {x_0}$. Do đó:
$\begin{gathered} \sin \alpha = \sin \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \cos \alpha = - \cos \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \tan \alpha = - \tan \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \cot \alpha = - \cot \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] \hfill \\ \end{gathered} $
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Trong bảng, kí hiệu $\parallel $ để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý
Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
$\begin{gathered} \sin {120^0} = \sin \left[ {{{180}^0} - {{60}^0}} \right] = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \cos {135^0} = \cos \left[ {{{180}^0} - {{45}^0}} \right] = - \cos {45^0} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} $
4. Góc giữa hai vectơ
a] Định nghĩa
Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a $ và $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $ . Góc $\widehat {AOB}$ với số đo từ ${0^0}$ đến ${180^0}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $]. Nếu [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $] $ = {90^0}$ thì ta nói rằng $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hoặc $\overrightarrow b \bot \overrightarrow a $.
b] Chú ý
Từ định nghĩa ta có [$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $] = [$\overrightarrow b $, $\overrightarrow a $].
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau :
$\begin{array}{|l|r|} \hline \quad\alpha & 0\,&\dfrac{\pi}{6}\,&\dfrac{\pi}{4}\,&\dfrac{\pi}{3}\,&\dfrac{\pi}{2}\,&\dfrac{2\pi}{3}\,\,&\dfrac{3\pi}{4}\,\,&\dfrac{5\pi}{6}\,\,&\pi\,\,\,\,&\dfrac{3\pi}{2}&2\pi\,\,\,\\ &\overline{0^o}&\overline{30^o}&\overline{45^o}&\overline{60^o}&\overline{90^o}&\overline{120^o}\,&\overline{135^o}\,&\overline{150^o}\,&\overline{180^o}&\overline{270^o}&\overline{360^o}\\ \hline \sin\alpha &0&\dfrac{1}{2}\,&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac{\sqrt3}{2}&1\,\,\,&\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac{1}{2}&0\,\,\,\,&-1\,\,&0\,\,\,\,\,\\ \hline \cos\alpha&1&\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac{1}{2}&0\,\,&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt2}{2}&-\dfrac{\sqrt3}{2}&-1\,\,&0\,\,\,&1\,\,\,\,\\ \hline \tan\alpha&0&\dfrac{\sqrt3}{3}&1\,\,&\sqrt3\,\,&||\,\,&-\sqrt3&-1\,\,\,&-\dfrac{\sqrt3}{3}&0\,\,\,&||\,\,\,&0\,\,\,\\ \hline \cot\alpha&||&\sqrt3&1\,\,&\dfrac{\sqrt3}{3}&0\,\,&-\dfrac{\sqrt3}{3}&-1\,\,&-\sqrt3&||\,\,&0\,\,&||\,\,\\ \hline \end{array}$