|
Quan tâm
1
Đưa vào sổ tay
|
A. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán :
Cho hàm số $y=f[x]$ có đồ thị $[C]$.
- Chứng minh rằng : điểm $I[x_0, y_0]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
- Tìm điểm $I[x_0, y_0]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=[x_0,y_0]$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$
+ Viết phương trình đường cong $[C]$ trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F[X].
+ Kiểm tra hàm Y=F[X] là hàm lẻ. Từ đó kết luận điểm $I[x_0, y_0]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F[X] là hàm lẻ.
Cách 2 :
Gọi $D$ là miền xác định của hàm số $f[x]$
Ta chứng minh rằng : $\forall [x_0 \pm x] \in D$ thì $f[x_0+x]+f[x_0-x]=2y_0$
Ví dụ $1.$
Cho hàm số $[C] : y=x+1+\frac{1}{x-1}$. Chứng minh rằng điểm $I[1;2]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Cách 1 :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=[1,2]$; công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x= X+1\\ y=Y+2 \end{cases}$
Phương trình đường cong $[C]$ trong hệ trục IXY là :
$Y+2=X+2+\frac{1}{X}\Leftrightarrow Y=X+\frac{1}{X}=F[X]$
Ta có : $F[-X]=[-X]+\frac{1}{[-X]}=-\left[ X+\frac{1}{X} \right ]=-F[X]$
$\Rightarrow F[X]$ là hàm số lẻ nên $I[1,2]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2.
Miền xác định của hàm số $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ {1} \right\}$.
Với mọi $[1 \pm x] \in D$ thì :
$f[1+x]=[1+x]+1+\frac{1}{[1+x]-1}=x+2+\frac{1}{x}$
$f[1-x]=[1-x]+1+\frac{1}{[1-x]-1}=-x+2-\frac{1}{x}$
$f[1+x]+f[1-x]=4=2y_0$
Vậy $I[1,2]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 2. Cho $[C]: y=x^3-3x^2+1$. Tìm tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Miền xác định $D=\mathbb{R}$.
Gọi $I[a,b]$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Với mọi $[a \pm x] \in D$ thì :
$f[a+x]=[a+x]^3-3[a+x]^2+1$
$f[a-x]=[a-x]^3-3[a-x]^2+1$
$f[a+x]+f[a-x]=6[a-1]x^2+2a^3-6a^2+2$
Điểm $I[a,b]$ là tâm đối xứng của đồ thị $[C]$.
$\Leftrightarrow f[a+x]+f[a-x]=2b$
$\Leftrightarrow 6[a-1]x^2+2a^3-6a^2+2=2b$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ 2a^3-6a^2+2=2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=-1 \end{cases}$
Vậy $I[a,b]$ là tâm đối xứng của đồ thị $[C]$.
Bài tập tự giải :
1. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số :
a. $y=x+\frac{1}{x+1}$
b. $y=\frac{x+1}{x-2}$
2. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số :
a. $y=ax^3+bx^2+cx+d [a \ne 0]$
b. $y=\frac{ax^2+bx+a}{ax+b}$
B. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán :
Cho hàm số $y=f[x]$ có đồ thị $[C]$
+ Chứng minh rằng : đường thẳng $x=x_0$ là trục đối xứng của đồ thị.
+ Tìm trục đối xứng của đồ thị có phương song song với trục tung $[\parallel Oy]$.
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=[x_0,y_0]$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$ với $I[x_0;0]$ nên $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y \end{cases}$
+ Viết phương trình đường cong $[C]$ trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F[X].
+ Kiểm tra hàm Y=F[X] là hàm chẵn. Từ đó kết luận đường thẳng $x=x_0$ là trục đối xứng của đồ thị.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm trục đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F[X] là hàm chẵn.
Cách 2 :
Gọi D là miền xác định của hàm số $f[x]$
Ta chứng minh rằng : $\forall [x_0 \pm x] \in D$ thì $f[x_0+x]=f[x_0-x]$.
Ví dụ 1.
Cho hàm số $[C] : y=x^2-2x+3$. Chứng minh rằng đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=[1,0]$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$ với $I[1;0]$ nên $\begin{cases}x= X+1\\ y=Y \end{cases}$
Phương trình đường cong $[C]$ trong hệ trục IXY là :
$Y=[X+1]^2-2[X+1]+3=X^2+2=F[X]$
Ta có : $F[-X]=[-X]^2+2=F[X]$
$\Rightarrow F[X]$ là hàm số chẵn nên $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 2.
Cho hàm số $[C] : y=x^4-4x^3-2x^2+12x-1$. Chứng minh rằng đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Miền xác định $D=\mathbb{R}$.
Với mọi $[1 \pm x] \in D$. Ta có :
$\begin{cases}f[1+x]=
[1+x]^4-4[1+x]^3-2[1+x]^2+12[1+x]-1=x^4-8x^2+6 \\ f[1-x]=
[1-x]^4-4[1-x]^3-2[1-x]^2+12[1-x]-1 =x^4-8x^2+6\end{cases}\Rightarrow f[1+x]=f[1-x]$
Vậy $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 3.
Tìm a, b để đồ thị $[C]$ của hàm số $y=x^4+ax^3+bx^2+2x$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng.
Lời giải :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=[-1,0]$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$ với $I[-1;0]$ nên $\begin{cases}x= X-1\\ y=Y \end{cases}$
Phương trình đường cong $[C]$ trong hệ trục IXY là :
$Y=[X-1]^4+a[X-1]^3+b[X-1]^2+2[X-1]$
$=X^4+[a-4]X^3+[b-3a+6]X^2+[3a-2-2b]X+b-a-1$
Để hàm số này là hàm số chẵn thì
$\begin{cases}a-4=0 \\ 3a-2-2b=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=4 \\ b= 5\end{cases}$
Vậy khi $a=4$ và $b=5$ thì $x=-1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Bài tập tự giải
1. Gọi $[C]$ là đồ thị hàm số $y=x^4+4ax^3-2x^2-12ax$. Xác định $a$ để $[C]$ có trục đối xứng cùng phương với Oy.
2. Chứng minh rằng đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị $[C]$ có phương trình $y=x^4-4x^3+6x^2-4x$.
Tâm đối xứng
Trục đối xứng
Đồ thị hàm số
|