1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \[\vec{u}\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{u}\] ≠ \[\vec{0}\] và giá của \[\vec{u}\] song song hoặc trùng với \[∆\]
Nhận xét
- Nếu \[\vec{u}\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{u}[ k≠ 0]\] cũng là một vectơ chỉ phương của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và nhận vectơ \[\vec{u} = [a; b]\] làm vectơ chỉ phương là :
\[∆\] : \[\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+t.a& \\ y= y_{0}+t.b& \end{matrix}\right.\]
-Khi hệ số \[a≠ 0\] thì tỉ số \[k= \frac{a}{b}\] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và có hệ số góc k là:
\[y – y_0 = k[x – x_0]\]
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \[k = \tan α\] với góc \[α\] là góc của đường thẳng \[∆\] hợp với chiều dương của trục \[Ox\]
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \[\vec{n}\] được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{n}\] ≠ \[\vec{0}\] và \[\vec{n}\] vuông góc với vectơ chỉ phương của \[∆\]
Nhận xét
- Nếu \[\vec{n}\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{n}\] \[[k ≠ 0]\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa
Phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\], được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biệt
- Nếu \[a = 0 => y = \frac{-c}{b}; ∆ \perp Oy=[0;\frac{-c}{b}]\]
- Nếu \[b = 0 => x = \frac{-c}{a}; ∆ \perp Ox=[\frac{-c}{a};0]\]
- Nếu \[c = 0 => ax + by = 0 => ∆\] đi qua gốc tọa độ.
- Nếu \[∆\] cắt \[Ox\] tại \[[a; 0]\] và \[Oy\] tại \[B [0; b]\] thì ta có phương trình đường thẳng \[∆\] theo đoạn chắn:
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình tổng quát lần lượt là: a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0.
Điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \[[x_0 ;y_0]\] là nghiệm của hệ hai phương trình:
[1] \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\]
Ta có các trường hợp sau:
a] Hệ [1] có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b] Hệ [1] vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c] Hệ [1] có vô số nghiệm: ∆1 $\equiv$ ∆2
6. Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
- Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
- Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2bằng 900 .
- Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
- Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \[\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\]
Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x+b1y + c1 = 0
∆2 = a 2+ b2y +c2 = 00
Đặt \[\varphi\] = \[\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\]
\[\cos \varphi\] = \[\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\]
Chú ý
- \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2} \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\].
- Nếu \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì: \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\].
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[∆\] có phương trình \[ax+by+c-0\] và điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]. Khoảng cách từ điểm \[M_0\] đến đường thẳng \[∆\] kí hiệu là \[d[M_0,∆]\], được tính bởi công thức:
\[d[M_0,∆]=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]
Page 2
Câu 4: Trang 80 - SGK Hình học 10
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \[M[4; 0]\] và \[N[0; -1]\]
Ta có: $\vec {MN}=[-4;-1]$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $MN$
=> vecto pháp tuyến của $MN$ là: $\vec {n}=[1;-4]$
=> Phương trình tổng quát của đường thẳng $MN$ là: $1.[x-4]-4.[y-0]=0 \Leftrightarrow x-4-4y=0$
Trắc nghiệm hình học 10: Bài 1: Phương trình đường thẳng [P2]
Từ khóa tìm kiếm Google: giải câu 4 trang 80 sgk hình học 10, giải bài tập 4 trang 80 hình học 10, hình học 10 câu 4 trang 80, Câu 4 Bài Phương trình đường thẳng sgk hình học 10
§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A. Phương trình tham sô' của đường thẳng X = x0 + y = y0 + u2t [t e R] Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0[x0; y0] và nhận U [Ui; u2] làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham sô' của đường thẳng A là: u9 . Nêu Ui * 0 thì k = — là hệ sô góc của A. U1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = [a; b] và vectơ chỉ phương là U = [-b; a]. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M[a, 0] và N[0; b] [với a * 0, b * 0] có phương trình là: — + Ị = 1 a b VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0 A,, A2 cắt nhau A-I H A2 a1 b1 = 0 ai bi • a2 b2 hoặc • a2 b2 b1 Cl *0 C1 ai b2 c2 c2 a2 *0 , , a. bi A2 cat nhau -A. —L Ai — A2 o Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì: „ . ai bi C1 A, // A2 —L = -—L TÍ — ai bi C1 A[ = A2 AA- = p- = -Al. a2 b2 c2 Góc giữa hai đưởng thẳng Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi [à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0° Cho A|: A,x + B^y + C-I = 0 và A2: A2X + B2y + c2 = 0 a là góc giữa A, và A2 thì cosa = I A4An + B.|B2 ị i'f2 1 A2+B2 = COS [rvnJ Đặc biệt: ả] 1A2o A,A2 + B,B2 = 0 Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2 thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0[x0; yo]. Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d[M0,A]. được tính bởi công thức: d[M0,A]: Ti |ax0 +by0 + c| B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua điểm M[2; 1] và có vectơ chỉ phương u = [3; 4]; d đi qua điểm M[-2; 3] và vectơ pháp tuyến là n = [5; 1]. [ỹiắé Ta có: M[2; 1] và U = [3; 4]. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ , , , " - fx = 2 + 3t chỉ phương u là: < [y = l + 4t M[-2; 3]; vectơ pháp tuyến n = [5; 1] thì d có vectơ chỉ phương U = [1; -5] , f X = -2 + t Phương trình tham sô của d là: < [y = 3-5t Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: A đi qua M[-5; -8] và có hệ sô’ góc k = -3; b] A đi qua hai điểm A[2; 1] và B[-4; 5]. ỹiắi Phương trình đường thẳng A đi qua M[-5; -8] có hệ sô' góc k = -3 là: y - yM = k[x - XM] y + 8 = -3[x + 5] 3x + y + 23 = 0 A có vectơ chỉ phương AB = [-6; 4] x , •> » V - íx = 2 - 6t Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: < [y = l + 4t Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0. 3. -6 4 Cho tam giác ABC, biết A[1; 4], B[3; -1] và C[6; 2]. Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA; Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM. Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: X~*A = y-yA -5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0 XB-XA yB-yA 3-1 -1"4 Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0 Đường cao AH đi qua A[ 1; 4] vuông góc với BC nên AH: X + y + c = 0 AH qua A[l; 4] nên l + 4 + C = 0=>C = -5. Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0. M là trung điểm của BC thì M Phương trình trung tuyến AM: ^x+y-5 = 0. XA-XM yA-yM 4_i 2 2 Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M[4; 0] và điểm N[0; -1]. Áp dụng phương trình đoạn chắn. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M[4; 0] và N[0; -1] là 4 + “ = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0. 4-1 7 J Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày: df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0; dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_ [y = 3 + 2t d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t ly = 6-4t 4 -10 Ta có — —— nên di và d2 cắt nhau. 11 Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0. _ , 12 -6 10 , .. , Ta có — = nên di // d2. 2-1-7 Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0. , 8 _ 10 _ -12 . , _ , Ta có — = = —— nên di = d2. IX 2 I 6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô' 4 5-6 y = 3 + t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A[0; 1] một khoảng bằng 5. ỹiẰi Ta có M[2 + 2t; 3 + t] e d và AM = 5 AM = 5 AM2 = 25 [2 + 2t]2 + [2 + t]2 = 25 5t2 + 12t - 17 = 0 » Vậy có hai điểm M thoả mãn đề bài là: Mi[4; 4]; M2^-^;--|j. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0. ỹiẦí Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0. Gọi tp là góc giữa di và d2 có: costp = 10 _ 72 1072 - 2 |aia2+bib2| _ |4 + 6| _ 10 - VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ Vậy: [p = 45°. A[3; 5], B[1;-2], C[1;2], Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0. Ta có A[3; 5] A: 4x + 3y + 1 = 0 Ta có C[l; 2] m: 3x + 4y - 11 = 0 d[C,m] , l” ựgl- nl ■ 0 . vậỵ c e m. 79 + 16 Tim bán kính của đường trồn tàm C[-2; -2] tiếp xúc với đường thẳng A: 5x+ 12y-10 = 0 ỹiải Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A. R g d[C, A] = 725 +144 13 „ 44 Vậy R = c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c. ‘rựcứcttỹ [tẩn Gọi H là trực tâm tam giác ABC: [A] = AB r\ AH => A[-l; -1] |B[ = AB n HB => B[2; 4] AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0 Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B[-4; -5] và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0 AC: 5x + 2y - 1 = 0 Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, [2 ; 1], M2[5 ; 3], M3[3; -4]. Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác. a] 2x + 3y + 1 =0 và 4x + 5y - 6 = 0; b] 4x - y + 2 = 0 và -8x + 2y + 1 =0; c] 3x - 2y + 1 =0 và -6x + 4y - 2 = 0. 5. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A[1; 3] và hai Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm. đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0. Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M[-1; 1] còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. dẳtí Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC. Cho hình vuông đỉnh A[-4; 5] và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. dẩti Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0 Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°. Cho hai điểm P[2; 5] và Q[5; 1]. Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3. ĩ]afitĩ: 7x + 24y — 134 = 0. Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A[3; -3], B[3; -2] và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c. Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2 Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P[2; 1] sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d[: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2. 4».' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.