Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn tìm tâm và bán kính nếu có
1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trướcPhương trình đường tròn có tâmI(a;b), bán kínhRlà : Show
(x – a)2+ (y – b)2 = R2 2. Nhận xétPhương trình đường tròn (x – a)2+ (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0 trong đó c = a2 + b2+ c2 Ngược lại, phương trìnhx2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 là phương trình của đường tròn(C)khi và chỉ khi a2 + b2 –c > 0. Khi đó đường tròn(C)có tâmI(a;b)và bán kính 3. Phương trình tiếp tuyến của đường trònCho điểmM0(x0; y0)nằm trên đường tròn(C)tâm I(a;b).GọiΔlà tiếp tuyến với(C)tạiM0 4. Các dạng bài tập và phương pháp giảiDạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.Cách 1: - Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 – 2ax -2by +c = 0 (1) - Xét dấu biểu thức: m = a2 + b2 + c2 - Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R Cách 2: - Đưa phương trình về dạng (x-a)2 + (y-b)2 = m2 (2) - Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R = √m Dạng 2: Lập phương trình đường trònCách 1: - Tìm tọa độ tâmI(a; b) của đường tròn (C) - Tìm bán kính R của (C) - Viết phương trình (C) theo dạng:(x – a)2+ (y – b)2= R2(1) Chú ý: - (C) đi quaA, B⇔ IA2= IB2= R2. - (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tạiA⇔ IA = d(I, ∆). - (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1và ∆2 ⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R Cách 2: - Gọi phương trình đường tròn (C) làx2+ y2– 2ax – 2by + c = 0(2) - Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là:a, b, c - Giải hệ phương trình tìma, b, cđể thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C) Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo(xo;yo) thuộc đường tròn (C) - Tìm tọa độ tâmI(a,b) của đường tròn (C) - Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo(xo;yo) có dạng: (xo – a)(x-x0) + (yo-b)(y-yo) = 0 Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâmI, bán kínhR⇔d (I, ∆) = R 5. Bài tập có lời giải về phương trình đường trònBài tập 1: Cho đường cong (Cm): x2+ y2– 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn Lời giải Để (Cm) là phương trình đường tròn ta có: m2+ [4(m – 4)]2– ( 18 – m) > 0 <=> m2+ 16m2– 256m + 256 – 18 + m > 0
<=> 17m2– 255m + 238 > 0 <=> m2– 15m + 14 > 0 <=> m < 1ᴗ m > 2 Bài tập 2: Cho (Cα) là x2+ y2– 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ). Chứng minh rằng (Cα) là đường tròn Lời giải Để (Cα) là đường tròn ta có: cos2α + sin2α – cos2α > 0 VT = cos2α + sin2α – cos2α = 1 – cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kᴨ) Chú ý: nếu α = kπ thì đường tròn là 1 điểm Bài tập 3:lập phương trình đường tròn (C) biết tâm O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0) Lời giải Ta có R = IO , mà vecto IO = √22+ √42= √20 => Đường tròn © có tâm O(2; 4) và bán kính R = √20 có phương trình đường tròn là: (x – 2)2+ (y – 4)2= 20 Bài tập 4.Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có : a) x2 + y2 – 6x +8y +100 = 0 (1) b) x2 + y2 + 4x – 6y -12 = 0 (2) c) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0 (3) Giải: a) (1) có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0với a = 3,b = -4, c = 100. Ta có a2 + b2 –c = 9 +16 – 100 < 0. Vậy (1) không phải là phương trình của đường tròn. b) (2) có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0, với a = – 2, b = 3, c = -12. Ta có x2 + b3 – c = 4 + 9 +12 = 25 > 0. Vậy (2) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (-2 ; 3), bán kính bằng c) Ta có : (3) ⇔ Vậy (3) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (1 ; -2), bán kính bằng√6 Bài tập 5.Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0 (1) a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn ? b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m. Giải: a) (1) có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0với a = m, b = – 2m, c = 6m= 1. (1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0, mà Bài tập 6.Lập phương trình của đường tròn (℘) trong các trường hợp sau : a) (℘) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0; b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5). Giải: Bài tập 7.Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3). Giải: Xét đường tròn (℘) có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0. (℘) đi qụa A, B, c khi và chỉ khi Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x +y – 1 = 0
1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) là : $${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$$ 2. Nhận xét Phương trình đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có thể được viết dưới dạng $${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$ trong đó \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\) \( \Rightarrow \) Điều kiện để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \((C)\) là: \({a^2} + {b^2}-c>0\). Khi đó, đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^{2}+b^{2} - c}\) 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\).Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\)  Ta có \(M_0\) thuộc \(∆\) và vectơ \(\vec{IM_{0}}=({x_0} - a;{y_0} - b)\) là vectơ pháp tuyến cuả \( ∆\) Do đó \(∆\) có phương trình là: $({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0$ (1) Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.
Loigiaihay.com |
