Ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai an

Chúng ta đã tiếp cận với bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn. Sự xác định miền nghiệm của nó khá dễ dàng. Vậy bây giờ, nếu bất phương trình của chúng ta có 2 ẩn thì ta có xác định được miền nghiệm của bất phương trình này hay không?

Chúng ta cùng vào bài ngày hôm nay: “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”

II. Nội dung bài học

Đầu tiên chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chúng ta xét 1 số ví dụ:

(1) ;

(2)

Đây là những bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy nghiệm của nó là gì?

Chúng ta biết rằng, khi học về phương trình, nghiệm của phương trình là những số hoặc cặp số thỏa mãn phương trình đó. Vậy thì với bất phương trình cũng vậy.

Chúng ta xét pt 1, Ta thấy ngay

chính là nghiệm của bất pt này

Ngoài ra ta có thể kiểm tra có rất nhiều cặp khác cũng sẽ là nghiệm

Câu hỏi đặt ra: Muốn tìm được tất cả nghiệm của bài toán này thì ta làm như thế nào?

Trước hết, hãy cũng nhau định nghĩa lại bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã nhé!

GV chốt:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y là bất phương trình có một trong các dạng:

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0c gọi là một nghiệm của bất phương trình

,

Nghiệm của các bất phương trình dạng

cũng được định nghĩa tương tự.

2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cũng như bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì các bất pt bậc nhất hai ẩn cũng có vô số nghiệm, và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta thường sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

GV chốt:

Xét bất phương trình:

Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình được gọi là miền nghiệm của nó

Người ta đã chứng mình được rằng, trong mặt phẳng

đường thẳng

chia mặt phẳng thành hai phần, 1 trong hai phần đó là miền nghiệm của bất phương trình và phần còn lại là miền nghiệm của bất phương trình

Từ đó ta có 1 quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng

Bước 2: Lấy một điểm

không thuộc ( ta thường lấy gốc tọa độ O, hoặc các điểm có tung độ hoặc hoành độ bằng 0 )

Bước 3: Tính và so sánh với c

Bước 4: Kết luận

· Nếu thì nửa mặt phẳng bờ chứa là miền nghiệm của

· Nếu

thì nửa mặt phẳng bờ không chứa là miền nghiệm của

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình

Chúng ta cùng xét 1 ví dụ:

Bài 1. Mức 1:Xác định miền nghiệm của bất phương trình

Gv hướng dẫn HS thực hành theo đúng các bước:

Bước 1: Vẽ đường thẳng

Bước 2: Xét

Bước 3: Ta có :

Bước 4: Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình là phần gạch chéo như hình vẽ

( miền không tô màu )

GV chú ý HS cách trình bày.

Đây là cách xác định nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. Mở rông ra là hệ bất phương trình chúng ta cũng tiến hành tương tự.

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chúng ta xét ví dụ:

Bài 4. Mức 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau

GV gọi lần lượt 2 HS xác định miền nghiệm của 2 bất phương trình trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ

Chúng ta thấy, nghiệm của hệ này nó phải thỏa mãn đồng thời cả 2 bất phương trình. Vậy miền nghiệm của nó phải là gì nhỉ? àgiao của các miền nghiệm của từng bất phương trình.

(miền không tô màu )

Bây giờ, ta sẽ xét 1 ứng dụng của phương pháp hình học trên nhé!

Bài 6. Mức 3: Tìm giá trị lớn nhất của biết thức với điều kiện

Trước hết, chúng ta hãy biểu diễn cho thầy miền nghiệm của hệ bpt trên

HS trình bay vào vở, GV vẽ trên bảng

Chúng ta thấy miền nghiệm của nó là một ngũ giác ABCOD

Người ta đã chứng minh được rằng, biểu thức

sẽ đạt GTLN hoặc GTNN tại 1 đỉnh của tứ giác này.

Đang xem: ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Xóa Tài Khoản Google Trên Máy Tính, Xóa Tài Khoản Google Của Bạn

Xem thêm: khóa học dạy con

Chúng ta sẽ áp dụng tính chất này nhé.

Hãy tìm cho thầy tọa độ của tất cả các đỉnh của nó nào!

.

Khi đó tính giá trị biểu thức F tại các điểm này nào

Ta có:

,

,

,

,

.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức bằng

.

Như vậy, với các bài toán kiểu này, chúng ta sẽ đi tìm miền đa giác của nó và các đỉnh của đa giác. Khi đó GTLN và GTNN sẽ đạt tại đỉnh của đa giác.

Còn với bài toán miền nghiệm không phải đa giác thì bài toán không còn đúng.

Một bài toán thực tế của dạng này ( ngta còn gọi là bài toán Quy hoạch tuyến tính )

Bài 8*:Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Với các bài toán thực tế kiểu này, chúng ta sẽ cố gắng đưa về bài toán trên bằng cách lập ra các biểu thức và các bất phương trình.

Đầu tiên, nếu chúng ta gọi

Gọi ( ) là số kg loại I cần sản xuất, ( ) là số kg loại II cần sản xuất.

Khi đó, số nguyên liệu cần dùng là bao nhiều? à

(kg)

Số giờ cần thiết phải dùng à

(giờ)

Số lợi nhuận thu được à ( nghìn đồng)

Như vậy, nếu để có mức lời cao nhất thì chúng ta có điều gì nào? à số lợi nhuận cao nhất. Hay nói cách khác chúng ta phải đi tìm GTLN của biểu thức

Vậy để tìm GTLN đó, chúng ta sẽ cần thêm 1 số ràng buộc bởi các bất phương trình.

Đầu tiên, xưởng này chỉ có 200 kg nguyên liệu nên ta thấy, số nguyên liệu cần dùng cũng chỉ được phép trong mức 200kg à

Số giờ làm việc là 1200 giờ à

Như vậy, ta có tất cả các ràng buộc giữa x và y.

Bài toán này được đưa về bài toán tìm GTLN của biểu thức biết

Bài toán này chúng ta đã làm chưa? à HS tự làm

Gọi ( ) là số kg loại I cần sản xuất, ( ) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là

, thời gian là

có mức lời là

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy ra

hay

,

hay

.

Bài toán trở thành: Tìm

thoả mãn hệ

(*) sao cho đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của đạt tại một trong các điểm

. Ta có

suy ra giá trị lớn nhất của

là

khi

.

Vậy cần sản xuất

kg sản phẩm loại I và

kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình