Video hướng dẫn giải - bài 11 trang 147 sgk giải tích 12
\(\eqalign{& \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd( - \cot x) = - x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr& = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr} \) Video hướng dẫn giải
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần LG a a) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\) Phương pháp giải: +) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân. +) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân. +) Sử dụng công thức tích phân từng phần:\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)} = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).} \) Lời giải chi tiết: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \sqrt x dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\end{array} \right..\) \(\begin{array}{l} LG b b) \(\displaystyle \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} \) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ Cách trình bày khác: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\) Khi đó \(I = \left. { - x\cot x} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot xdx} \)\( = \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3 + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \) Đặt \(\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx\) Đổi cận \(x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\) \( \Rightarrow I = \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3 + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{dt}}{t}} \) \( = \sqrt 3 .\dfrac{\pi }{6} + \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\dfrac{1}{2}}^1 = \sqrt 3 .\dfrac{\pi }{6} - \ln \dfrac{1}{2}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 \pi }}{6} + \ln 2\) LG c c) \(\int_0^\pi {(\pi - x)\sin {\rm{x}}dx} \) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ Cách trình bày khác: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \pi - x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \left. { - \left( {\pi - x} \right)\cos x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \) \( = \pi - \left. {\sin x} \right|_0^\pi = \pi + 0 - 0 = \pi \) LG d d) \(\int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ Cách trình bày khác: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \left. { - \left( {2x + 3} \right){e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0 + 2\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} \) \( = - 3 + e - \left. {2{e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0\) \( = - 3 + e - 2 + 2e = 3e - 5\)
|