Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[[S]\] có đường kính là \[AB\] biết rằng \[A[ 6 ; 2 ; -5], B[-4 ; 0 ; 7]\].
LG a
a] Tìm toạ độ tâm \[I\] và tính bán kính \[r\] của mặt cầu \[[S]\]
Phương pháp giải:
Tâm I là trung điểm của AB:\[I\left[ {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right]\] và bán kính\[R = \frac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Tâm \[I\] của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\]: \[I\left[ {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right] = \left[ {1;1;1} \right]\]
\[A{B^2} = {\rm{ }}{\left[ { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]^2} = {\rm{ }}248\]
\[ \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \]
Vậy \[R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \]
LG b
b] Lập phương trình của mặt cầu \[[S]\].
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu tâm\[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có bán kính \[R\] có dạng:\[{\left[ {x - {x_0}} \right]^2} + {\left[ {y - {y_0}} \right]^2} + {\left[ {z - {z_0}} \right]^2} = {R^2}\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu \[[S]\]
\[{\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^{2}} = {\rm{ }}62\]
\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
LG c
c] Lập phương trình của mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\] tại điểm \[A\].
Phương pháp giải:
Mặt phẳng cần tìm đi qua A và nhận \[ \overline {IA} \] là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \[A\] chính là mặt phẳng qua \[A\] và vuông góc với bán kính \[IA\]. Ta có:
\[\overrightarrow {IA} = [5; 1 ; -6]\]
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \[5[x - 6] + 1[y - 2] - 6[z + 5] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0\]