Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\];
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos:\[a\sin x + b\cos x = c\,\,\left[ {{a^2} + {b^2} > 0} \right]\]
- Chia cả hai vế cho\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \], khi đó phương trình có dạng:
\[\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
- Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right.\] và sử dụng công thức\[\sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \sin \left[ {x + \alpha } \right]\] sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \end{array} \right.\] và sử dụng công thức\[\sin x\sin \alpha + \cos x\cos \alpha = \cos \left[ {x - \alpha } \right]\] và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & \,\,\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos {\pi \over 3} - \sin x\sin {\pi \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos \left[ {x + {\pi \over 3}} \right] = \cos {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left[ {k \in Z} \right] \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \] hoặc \[x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\].
LG b
\[3sin3x - 4cos3x = 5\];
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & \,\,3\sin 3x - 4\cos 3x = 5 \cr & \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1 \cr} \]
Đặt \[\left\{ \matrix{ \sin \alpha = {3 \over 5} \hfill \cr \cos \alpha = {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\], phương trình trở thành
\[\eqalign{ & \sin 3x\sin \alpha - \cos 3x\cos \alpha = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x\cos \alpha - \sin 3x\sin \alpha = - 1\cr &\Leftrightarrow \cos \left[ {3x + \alpha } \right] = - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x + \alpha = \pi + k2\pi \cr & \Leftrightarrow 3x = \pi - \alpha + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {{\pi - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left[ {k \in Z} \right] \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = {{\pi - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left[ {k \in Z} \right]\] [Với \[\sin \alpha = {3 \over 5};\,\,\cos \alpha = {4 \over 5}\]].
Chú ý:
Có thể đặt cách khác như sau:
Đặt \[\left\{ \matrix{ \cos \beta = {3 \over 5} \hfill \cr \sin \beta = {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\], phương trình trở thành:
\[\begin{array}{l}
\sin 3x\cos \beta - \cos 3x\sin \beta = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left[ {3x - \beta } \right] = 1\\
\Leftrightarrow 3x - \beta = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\beta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array}\]
LG c
\[2sinx + 2cosx - \sqrt2 = 0\];
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & 2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0 \cr &\Leftrightarrow 2\sin x + 2\cos x = \sqrt 2 \cr &\Leftrightarrow \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\sin x + \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin x\sin {\pi \over 4} + \cos x\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = \cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - {\pi \over 4} = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr x - {\pi \over 4} = - {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right] \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \] hoặc \[x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right].\]
LG d
\[5cos2x + 12sin2x -13 = 0\].
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & \,\,5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0 \cr & \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1 \cr} \]
Đặt \[\left\{ \matrix{ {5 \over {13}} = \cos \alpha \hfill \cr {{12} \over {13}} = \sin \alpha \hfill \cr} \right.\] , khi đó phương trình trở thành
\[\eqalign{ & \,\,\,\cos 2x\cos \alpha + \sin 2x\sin \alpha = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos \left[ {2x - \alpha } \right] = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k\pi \,\,\,\left[ {k \in Z} \right] \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = {\alpha \over 2} + k\pi \,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\] với \[\sin \alpha = {{12} \over {13}};\,\,\cos \alpha = {5 \over {13}}\].