Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình x - 2 bình + y + 3 bình = 4

§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN KIẾN THỨC CĂN BẢN Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Phương trình đường tròn tâm l(a; b), bán kính R có dạng: (X - a)2 + (y - b)2 = R2 Phương trình đường tròn (x - a)2 + (y - b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 - R2. Ngược lại, phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm l(a, b) và bán kính R = Va2 +b2 -c. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Chd đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 và M0(x0; yo) e (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo là: (Xo - a)(x - Xo) + (y0 - b)(y - y0) = 0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0; 16x2+ 16/+ 16x-8y-11 = 0; X2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0. (ỹéiỉé Phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn có tâm I(a, b) bán kính 7a2 + b2 - c (với điều kiện a2 + b2 - c > 0). Ta có a = 1, b = 1, c = -2 Đường tròn có tâm 1(1; 1) bán kính R = 7l2 + l2 + 2 = 2. 16x2 + 16y2 + 16x - 8y- 11 = 0 o X2 + y2 + X - |y - II = 0 2 16 a = 2, b = -3, c = -3. Đường tròn có tâm 1(2; -3) bán kính R = 74 + 9 + 3 = 4 . Lập phương trình đường tròn (7) trong các trường hợp sau: (7) có tâm l(- 2; 3) và đi qua M(2; - 3); (7) có tâm 1(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng X - 2y + 7 = 0; (7) có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5). co có tầm I(- 2; 3) và đi qua M(2; - 3) nên co có bán kính R = IM = 7l6 + 36 = 752 . Vậy phverg trình của co là: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 52 Ta có K-l; 2) d: X — 2y + 7 = 0 CO có tâm I và tiếp xúc với (d) suy ra co có bán kính R bằng khoảng l-l - 4 + 7| 2 cách từ I tới d: R = -— 7l + 4 75 Phương trình của co là: (x + l)2 + (y - 2)2 = Ệ-. 5 Ta có A(l; 1); B(7; 5) Tâm I của co là trung điểm của AB nên suy ra I có tọa độ (4; 3). Gọi R là bán kính của co, ta có: R2 = IA2 = 9 + 4 = 13. Vậy phương trình của co là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13. b) M(-2; 4), N(5; 5), P(6;-2). Lập phương trinh đường tròn di qua ba điểm a) A(1;2), B(5; 2), C(1;-3); l + 4-2a-4b + c = 0 -2a - 4b + c = -5 25 + 4 - 10a - 4b + c = 0 ■ -10a-4b + c =-29 - l + 9-2a + 6b + c = 0 -2a + 6b + c = -10 Phương trình của đường tròn co có dạng: X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) Thay tọa độ của các điểm A, B, c vào (1) ta được hệ phương trình: fa = 3 b = 4 2 C = -1 Vậy co có phương trình: X2 + y2 - 6x + y - 1 = 0. Tương tự như câu a) ta có hệ phương trình: 4a - 8b + c = -20 a = 2 • -10a - 10b + c = -50 - b = 1 -12a + 4b + c = -40 c = -20 Vậy co có phương trình: X2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0. Lập phương trinh đường trò.n tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi quâ điểm M(2; 1). tyiAi Xét đường tròn co có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Có tâm I(a, b). CO tiếp xúc với Ox và Oy, nên: |a| = |b| = R (vì d(I, Ox) = d(I, Oy)) • Trường hợp 1: b = a (O: (X - a)2 + (y - a)2 = a2 M(2; 1) e co (2 - a)2 + (1 - a)2 = a2 a2 - 6a + 5 = 0 Trường hợp 2: b = -a CO: (x - a)2 + (y + a)2 = a2 M(2; 1) e co » (2 - a)2 + (1 + a)2 = a2 o a2 - 2a + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm. Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài: CO): (x - l)2 + (y - l)2 = 1 CO): (X - 5)2 + (y - 5)2 = 25. Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0. (ỷưíi Đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ có tâm nằm trên đường thẳng y = X hoặc y = -X. 4x - 2y - 8 = 0 íx = 4 . Vậy 1(4, 4). Trường hợp tâm I thuộc đường thẳng y = X. Tọa độ tầm I là nghiệm của hệ Bán kính R = d(I, Ox) = 4 Vậy CO): (x - 4)2 + (y - 4)2 = 16 4x - 2y - 8 = 0 y = -x Trường bợp tâm I thuộc đường thẳng y = -X. Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ Bán kính R = d(I, Ox) = — 3 Vậy«):(x-£) +(y + í) .ụ. Cho đường tròn ('rì có phương trinh: X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 Tìm tọa độ tàm và bán kính của (rì- Viết phương trình tiếp tuyến với (rì đi qua điểm A(-1; 0). Viết phương trình tiếp tuyến với (rì vuông góc với đường thẳng: 3x - 4y + 5 = 0. tyúỉi CO: X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 Ta có a = 2, b = -4; c = -5 co có tâm 1(2; -4) và có bán kính: R = ^4 + 16 + 5 = 5 CO: (x - 2)2 + (y + 4)2 = 25 Ta có A(-l; 0) 6 co. Phương trình tiếp tuyến với co tại A là: (-1 - 2)(x + 1) + (0 + 4)(y - 0) = 0 -3x + 4y-3 = 0 o 3x-4y + 3 = 0 Tiếp tuyến A vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 nên phương trình A có dạng: 4x + 3y + c = 0. Ta có c-4 = 25 c - 4 = -25 c = 29 c =-21 A tiếp xúc với CO nên d(I, A) = R 18-12 + c| r , I . J —- - = 5 I c - 4 I = 25 Vậy có hai tiếp tuyến của co vuông góc với d, đó là: Ap 4x + 3y + 29 = 0 A2: 4x + 3y - 21 = 0. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Viết phương trình đường tròn qua điểm A(1; -2) và các giao điểm của đường thẳng: X - 7y + 10 = 0 với đường tròn X2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn: CO: X2 + y2 - lOx + 24y - 56 = 0 CO'Z- X2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0 Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 1 = 0 và (Cm): X2 + y2 - 2(m + 1 )x + 4my -5 = 0 Xác định m để (Cm) là đường tròn. Chứng minh rằng có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với (C) ứng với hai giá trị khác nhau của m. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường đó. Cho (Cm): X2 + y2 + (2 - m)x + 2my -1=0 Xác định m để (Cm) là đường tròn. Cho m = -2 và A(0; -1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C_2) kẻ từ A.

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Sách giải toán 10 Bài 2: Phương trình đường tròn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 2 trang 82: Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4).

Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính.

Lời giải

Gọi I là đường tròn nhận AB là đường kính

⇒ I là trung điểm của AB ⇒ I (0; 0)

⇒ R = AB/2 = 5

Phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính là:

x2 + y2 = 25

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 2 trang 82: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0;

x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0;

x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0;

x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0.

Lời giải

+ 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0 không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2 khác hệ số của y2.

+ Phương trình x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 có :

a = –1; b = 2; c = –4 ⇒ a2 + b2 – c = 9 > 0

⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.

+ Phương trình x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0 có :

a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a2 + b2 – c = –10 < 0

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

+ Phương trình x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 có :

a = –3; b = –1; c = 10 ⇒ a2 + b2 – c = 0 = 0

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

a, x2 + y2– 2x – 2y – 2 = 0

b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0

c, x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

Lời giải

Cách 1 : Xác định các hệ số a, b, c.

a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 có hệ số a = 1 ; b = 1 ; c = –2

⇒ tâm I (1; 1) và bán kính

b) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y –11 = 0

⇒ Đường tròn có tâm

, bán kính

c) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

⇔ x2 + y2 – 2.2x – 2.(-3).x – 3 = 0

có hệ số a = 2, b = -3,c = -3

⇒ Đường tròn có tâm I(2 ; –3), bán kính

Cách 2 : Đưa về phương trình chính tắc :

a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0

⇔ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y +1) = 4

⇔(x-1)2 + (y-1)2 = 4

Vậy đường tròn có tâm I(1 ; 1) và bán kính R = 2.

b) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y – 11 = 0

Vậy đường tròn có tâm

và bán kính R = 1.

c) x2 + y2 – 4x + 6y -3 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 + 9 + 3

⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16

Vậy đường tròn có tâm I( 2 ; –3) và bán kính R = 4.

a, (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);

b, (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp cúc với đường thẳng x – 2y +7 =0

c, (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5).

Lời giải

a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM

Vậy đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.

b) (C) tiếp xúc với (Δ) : x – 2y + 7 = 0

⇒ d(I; Δ) = R

Vậy đường tròn (C) :

c) (C) có đường kính AB nên (C) có :

+ tâm I là trung điểm của AB

Vậy đường tròn (C) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13.

a, A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)

b, M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2)

Lời giải

Gọi phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.

a) A(1; 2) ∈ (C) ⇔ 12 + 22 – 2.a.1 – 2.b.2 + c = 0 ⇔ 2a + 4b – c = 5 (1)

B(5; 2) ∈ (C) ⇔ 52 + 22 – 2.5.x – 2.2.y + c = 0 ⇔ 10x + 4y – c = 29 (2)

C(1; –3) ∈ (C) ⇔ 12 + (–3)2 – 2.a.1 – 2.b.(–3) + c = 0 ⇔ 2a – 6b – c = 10 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = –1/2, c = –1.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.

b)

M(–2 ; 4) ∈ (C) ⇔ (–2)2 + 42 – 2.a.(–2) – 2.b.4 + c = 0 ⇔ 4a – 8b + c = –20 (1)

N(5; 5) ∈ (C) ⇔ 52 + 52 – 2.a.5 – 2.b.5 + c = 0 ⇔ 10a + 10b – c = 50 (2)

P(6; –2) ∈ (C) ⇔ 62 + (–2)2 – 2.a.6 – 2.b.(–2) + c = 0 ⇔ 12a – 4b – c = 40 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = –20.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P là : x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.

Lời giải

Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R.

(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|

(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|

⇒ |a| = |b|

⇒ a = b hoặc a = –b.

+ TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a|

Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2

⇔ a2 – 6a + 5 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = 5.

* a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1.

Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.

* a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5.

Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.

+ TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a|

Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2

⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.

Lời giải

a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)

b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)

c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.

Lời giải

a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:

(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 25 = R2

⇒ A thuộc đường tròn (C)

⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A

⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA

⇒ (d’) nhận

là một vtpt và đi qua A(–1; 0)

⇒ phương trình (d’): 3x – 4y + 3 = 0.

c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).

(d) có

là một vtpt

(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận

là một vtpt

⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.