Xếp 10 viên bi giống nhau vào 3 hộp khác nhau tính xác suất để hộp nào cũng có bi
Bài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộpđó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.Hướng dẫn* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách)* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách) Suy ra xác suất cần tìm là ( 24 + 12) 4p = = 90 10 Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.Hướng dẫnTổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu.Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C 4cách lấy hay n( Ω ) = C 4 .Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C 2 C1C1 = 2160 cách+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C1 C 2C1 = 1680 cách+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có C1 C1C 2 = 1200cáchDo đó, n(A) = 5040 Vậy, xác suất biến cố A là P( A) = n( A) = 5040 Bài 3: Từ các chữ số của tậpT = {0;1; 2; 3; 4; 5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiêncó ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó cóít nhất một số chia hết cho 5.Hướng dẫn+ Có 5.A2 = 100số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau+ CóA2 + 4.A1 = 36 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. + Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.+ n (Ω) = C1 .C1= 9900 + Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5” Ta có:n ( A) = .C1+ Vậy :36 64 36 35 P ( A) = n ( A) = 3564 = 9 = 0, 36 n (Ω) 20 10 5 5 9900 25Bài 4: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xácsuất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵntrong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.Hướng dẫn- Số phần tử của không gian mẫu là:n (Ω) = C 5 = 15504 . - Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có:n ( A) = C 3 .C1.C1 = 3000 . Vậy, xác suất cần tính là:P ( A) = n ( A) = 3000 = 125 . n (Ω)= 995 A 415504 646Bài 5: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên mộtsố từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữsố lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).Hướng dẫnXét các số có 9 chữ số khác nhau:- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.- CóA8 cách chọn 8 chữ số tiếp theoDo đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. A8 = 3265920Xét các số thỏa mãn đề bài:- Có C 4 cách chọn 4 chữ số lẻ.- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7cách xếp.- Tiếp theo ta có2 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0.- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) = C 4 .7.A2 .6!= 302400.5 4Vậy xác suất cần tìm làP( A) = 302400 = 5 . 3265920 54 11 5 6 5 6 16 Bài 6: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinhđể làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.Hướng dẫn- Ta cón (Ω) = C 3 = 165 - Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C 2 .C1 + C1.C 2 = 135- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 = 9 165 11 Bài 7: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.Hướng dẫn- Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8- B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9- Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C = A.B + A.BVậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26Bài 8: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhàhóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ vàcó đủ ba bộ mônHướng dẫnTa có : Ω = C 4= 1820Gọi A: “2nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ”B: “1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ”C: “1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ “Thì H = A ∪ B ∪ C : “Có nữ và đủ ba bộ môn”C 2C1C1 + C1C 2C1 + C1C1C 2 3P(H ) = 8 5 3 8 5 3 8 5 3 = Ω 7 Bài 9: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh 11Hướng dẫn n (Ω) = C3 = 165 Hướng dẫn giải bài tập Chương 1 Xác suất thống kê: Xác suất cổ điển (Phần 1) Lần trước đang dừng ở bài 3 đúng không? Bây giờ chúng ta sẽ sang tiếp bài số 4 nhé. Okeyyyyy, Let's goooo..... Bài 4: Có hai hộp bi. Hộp I có 6 bi đen và 4 bi trắng. Hộp II có 7 bi đen và 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi. a. Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra cuối cùng cùng màu. b. Biết rằng 2 viên bi lấy ra sau cùng là 2 viên bi đen, tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I bỏ vào hộp II cũng là 2 viên bi đen. c. Tìm xác suất để lần 1 lấy được hai viên bi khác màu và lần thứ 2 được hai viên bi cùng màu. Giải
Gọi H1 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi đen" {Giải thích: $C_{6}^{2}$- xác suất lấy 2 bi trong 6 bi đen $C_{10}^{2}$- xác suất lấy 2 bi trong 10 bất kỳ} *Tương tự như vậy* => $P\left( {{H}_{2}} \right)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{2}{15}$ $P\left( {{H}_{3}} \right)=\frac{C_{6}^{1}.C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{8}{15}${$C_{6}^{1}\,,\,\,C_{4}^{1}$giải thích tương tự như trên ấy) Vậy {H1 , H2 , H3} là một hệ đầy đủ Gọi A là biến cố "Lấy 2 bi cùng màu ở hộp II " Cùng màu ở đây có thể là "cùng màu trắng" hoặc "cùng màu đen", vậy là ta phải cộng xác suất cả 2 trường hợp này xảy ra: =>$P(A/{{H}_{1}})=\frac{C_{9}^{2}+C_{3}^{2}}{C_{13}^{2}}=\frac{13}{22}$ =>$P(A/{{H}_{2}})=\frac{C_{7}^{2}+C_{5}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{31}{66}$ =>$P\left( A/H3 \right)=\frac{C_{8}^{2}+C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{17}{33}$. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: $P\left( A \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( A/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)$ $=\frac{1}{3}\times \frac{13}{22}+\frac{2}{15}\times \frac{31}{66}+\frac{8}{15}\times \frac{17}{33}=0,5343$b, Biết rằng 2 viên bi lấy ra sau cùng là 2 viên bi đen, tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I bỏ vào hộp II cũng là 2 viên bi đen. Gọi B là biến cố "Lấy 2 bi đen ở hộp II"Gọi H1 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi đen" H2 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 2 bi trắng " H3 là biến cố "Lấy từ hộp I sang hộp II 1 bi trắng + 1 bi đen " và nhớ là: Hộp I : 6 đen | 4 trắng Hộp II: 7 đen | 3 trắng => $P({{H}_{1}})=\frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$ => $P\left( {{H}_{2}} \right)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{2}{15}$ => $P\left( {{H}_{3}} \right)=\frac{C_{6}^{1}.C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{8}{15}$ Vậy {H1 , H2 , H3} là một hệ đầy đủ => $P(B/{{H}_{1}})=\frac{C_{9}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{6}{11}$ => $P(B/{{H}_{2}})=\frac{C_{7}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{7}{22}$ => $P\left( B/H3 \right)=\frac{C_{8}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{14}{33}$ => $P\left( B \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( B/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( B/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( B/{{H}_{3}} \right)$ $=\frac{1}{3}\times \frac{6}{11}+\frac{2}{15}\times \frac{7}{22}+\frac{8}{15}\times \frac{14}{33}=\frac{223}{495}$Nhưng mà anh em đừng quên nhé, là mình phải tính xác suất của H1 khi B xảy ra, áp dụng công thức Bayes ta có: $P\left( {{H}_{1}}/B \right)=\frac{P({{H}_{1}}).P(B/{{H}_{1}})}{P\left( B \right)}=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{6}{11}}{\frac{223}{495}}=\frac{90}{223}=0,4036$ >>>6 bài tập chương 1 chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi cuối kỳ
c, Tìm xác suất để lần 1 lấy được hai viên bi khác màu và lần thứ 2 được hai viên bi cùng màu. Cái này thì dựa vào ngay câu trên, ta đã có ở câu a A là biến cố "Lấy được 2 bi cùng màu ở hộp II" H3 là biến cố " Lấy từ hộp I sang hộp II 1 bi trắng + 1 bi đen" (2 viên khác màu) => Ta cần tính P(H3A) $P\left( {{H}_{3}}A \right)=P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)=\frac{8}{15}\times \frac{17}{33}=\frac{136}{195}=0,2747$ Bài 5: Trong một kho có chứa sản phẩm do 3 nhà máy sản xuất. Sản phẩm của nhà máy I chiếm 40%; sản phẩm của nhà máy II chiếm 30%; và của nhà máy III chiếm 30% tổng số sản phẩm của kho. Tỷ lệ chính phẩm của nhà máy I là 90%; nhà máy II là 80% và nhà máy III là 85%. Người ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm và được phế phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó do nhà máy III sản xuất. {Giải thích: Nhà máy 1 có tỷ lệ chính phẩm là 90% hay 0,9 => Tỷ lệ phế phẩm của nó sẽ là 100 - 90 = 10% hay 0,1! Làm tương tự với 2 nhà máy còn lại} => $P\left( A \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( A/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)$. $=0,4\times 0,1+0,3\times 0,2+0,3\times 0,15=0,145$
$P\left( {{H}_{3}}/A \right)=\frac{P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,3\times 0,15}{0,145}=0,3103$ Bài 6 Một trạm y tế có 8 bác sĩ, 12 y tá và 6 hộ lý. Chọn ngẫu nhiên một nhóm 5 người cán bộ y tế của trạm. a) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có ít nhất một bác sĩ. b) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có một bác sĩ, một hộ lý và 3 y tá. Giải a) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có ít nhất một bác sĩ. Thần chú bây giờ là cứ nhắc tới "ít nhất 1" là mình chơi biến cố đối nhé. Gọi A là biến cố "5 người có ít nhất 1 bác sĩ" => $\bar{A}$là biến cố "5 người ấy đếch có ông bác sĩ nào" => $P\left( {\bar{A}} \right)=\frac{C_{18}^{5}}{C_{26}^{5}}=\frac{2142}{16445}$ Vậy xác suất để 5 người ấy có ít nhất một bác sĩ là: \[P\left( A \right)=1-P\left( {\bar{A}} \right)=1-\frac{2142}{16445}=0,8698\]b) Tính xác suất sao cho trong nhóm 5 người ấy có một bác sĩ, một hộ lý và 3 y tá. Cái này thì quá dễ cmnl: Gọi B là biến cố 5 người được chọn có 1 bác sĩ, 1 hộ lý và 3 ý tá$P\left( B \right)=\frac{C_{8}^{1}.C_{6}^{1}.C_{12}^{3}}{C_{26}^{5}}=\frac{48}{299}=0,1605$ Bài 7: Trong một kho sản phẩm của nhà máy có 7 hộp sản phẩm của phân xưởng 1; 5 hộp sản phẩm của phân xưởng 2 và 4 hộp sản phẩm của phân xưởng 3. Tỷ lệ phế phẩm của mỗi phân xưởng tương ứng là 5%; 9% và 15%. a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ kho, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm. b) Giả sử sản phẩm lấy được là chính phẩm. Tính xác suất để lấy được sản phẩm của phân xưởng 1. Giải a, Lấy ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ kho, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Gọi H1 là biến cố "Lấy hộp sản phẩm từ nhà máy số 1" H2 là biến cố "Lấy hộp sản phẩm từ nhà máy số 2" H3 là biến cố "Lấy hộp sản phẩm từ nhà máy số 3" => $P\left( {{H}_{1}} \right)=\frac{7}{7+5+4}=\frac{7}{16}$ => $P\left( {{H}_{2}} \right)=\frac{5}{7+5+4}=\frac{5}{16}$ => $P\left( {{H}_{3}} \right)=\frac{4}{7+5+4}=\frac{4}{16}$ Vậy hệ {H1 ; H2 ; H3 } là một hệ đầy đủ. Gọi A là biến cố "Lấy ra sản phẩm chính phẩm)P(A/H1) = 0,95 P(A/H2) = 0,91 P(A/H3) = 0,85 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: $P\left( A \right)=P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)+P({{H}_{2}}).P\left( A/{{H}_{2}} \right)+P\left( {{H}_{3}} \right).P\left( A/{{H}_{3}} \right)$ $=\frac{7}{16}\times 0,95+\frac{5}{16}\times 0,91+\frac{4}{16}\times 0,85=0,9125$ b) Giả sử sản phẩm lấy được là chính phẩm. Tính xác suất để lấy được sản phẩm của phân xưởng 1 Tức là tính P(H1/A) $P\left( {{H}_{1}}/A \right)=\frac{P\left( {{H}_{1}} \right).P\left( A/{{H}_{1}} \right)}{P\left( A \right)}=\frac{\frac{7}{16}\times 0,95}{0,9125}=0,4555$ |