Z + 1 + i z - 2 3i đạt giá trị nhỏ nhất
|
Hay nhất
Chọn C Đặt \(z=z+yi,\, \, \left(x,y\in {\rm R}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} +2y=3\Leftrightarrow 3x^{2} +3y^{2} +6y=9\) \(\Rightarrow x^{2} +y^{2} +9=4x^{2} +4y^{2} +6y\)
\(=\sqrt{\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} }\)
\(\sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \ge \sqrt{\left(a+c\right)^{2} +\left(b+d\right)^{2} } \)
Cách 2: Đặt\( z=z+yi,\, \, \left(x,y\in {\rm R}\right)\) \(\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left(y-1\right)^{2} =4\) \(\Rightarrow\) tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(0;-1\right)\), bán kính R=2.
\(=\sqrt{\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \) \(=2\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
Nhận thấy A nằm trong đường tròn \(\left(C\right)\), B nằm ngoài đường tròn\( \left(C\right)\) \(\Rightarrow P=2\left(MA+MB\right)\ge 2AB=4\sqrt{2}\) . Dấu ``='' xảy ra khi M thuộc đoạn AB. Câu hỏi: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {iz – 3 + 2i} \right| = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z – 1 – i} \right|\). A. \({P_{\min }} = 3\). B. \({P_{\min }} = \sqrt {13} – 3\). C. \({P_{\min }} = 2\). D. \({P_{\min }} = \sqrt {10} \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có: \(\left| {iz – 3 + 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| i \right|.\left| {z + 3i + 2} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left| {z + 2 + 3i} \right| = 3\)\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn của số phức\(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { – 2; – 3} \right)\) bán kính \(R = 3\). Gọi \(E\left( {1;1} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(1 + i\)\( \Rightarrow P = EM\). Do đó \({P_{\min }} = \left| {EI – R} \right| = 2\). 
Câu hỏi: A. \(\sqrt 5 \). B. \(\frac{{\sqrt {29} }}{5}\). C. \(3\). D. \(\frac{{\sqrt {221} }}{5}\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Cách 1: Ta có \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right| \ge \left| {3 – 4i} \right| – \left| {iz + w} \right| \ge 5 – \left( {\left| {iz} \right| + \left| w \right|} \right) \ge 5 – \left( {2 + 1} \right) = 2\) Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}w = {k_1}\left( {3 – 4i} \right)\,\,khi\,\,\left( {{k_1} < 0} \right)\\i.z = {k_2}\left( {3 – 4i} \right)\,\,khi\,\,\left( {{k_2} < 0} \right)\end{array} \right.\,\,\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {i\overline w } \right| = 1\,\,\\\left| {iz} \right|\, = \left| z \right| = 2\,\end{array} \right.\,\,\). Giải hệ trên suy ra \({k_2} = – \frac{2}{5}\); \({k_1} = – \frac{1}{5}\). Hay \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\,\,\\iz = \frac{{ – 2}}{5}\left( {3 – 4i} \right)\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow – z = \frac{{ – 2i}}{5}\left( {3 – 4i} \right) \Rightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\end{array}\) Khi đó \(z – w = – 1 – 2i\) \( \Rightarrow \left| {z – {\rm{w}}} \right| = \sqrt 5 \). Cách 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\): Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(iz\) \( \Rightarrow OM = 2\) \( \Rightarrow \) \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(O\) bán kính \({R_1} = 2\). Gọi \(N\) là điểm biểu diễn của số phức \(w\) \( \Rightarrow ON = 1\) \( \Rightarrow \) \(N\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(O\) bán kính \({R_2} = 1\). Gọi \(E\left( {3; – 4} \right)\). Khi đó \(A = \left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) \( = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OE} } \right|\). Ta thấy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,\) \(N,\) \(E\) thẳng hàng và \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {OE} \) Đường thẳng \(OE\) có phương trình là \(y = \frac{{ – 4}}{3}x\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(OE\) và đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 4}}{3}x} \right)^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y = \frac{{ – 8}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{6}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { – \frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(OE\) và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 4}}{3}x} \right)^2} = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{ – 4}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\) Vậy \(N\left( { – \frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)\). Do đó: \(w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\) và \(i.z = – \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\). Vậy \(\left| {z – {\rm{w}}} \right| = \left| { – 1 – 2i} \right| = \sqrt 5 \). ======= Lời giải của GV Vungoi.vn Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {b + 3} \right)^2} + {a^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = - 2b - 1\end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1} = \sqrt {5\left( {{b^2} + \dfrac{4}{5}b} \right) + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{{25}}} \right) - \dfrac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {b + \dfrac{2}{5}} \right)}^2} + \dfrac{1}{5}} \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(b = - \dfrac{2}{5} \Rightarrow a = - \dfrac{1}{5}.\) Vậy \({\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a = - \dfrac{1}{5}\). |
