Bài 64 trang 132 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao
Đường thẳng d1đi qua điểm M1( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2; -2). Đường thẳngd2đi qua điểmM2(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng \(\overrightarrow {{u_2}} \)= 2\(\overrightarrow {{u_1}} \) nên d1, d2cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp(\(\alpha \))
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng : \(\eqalign{ & {d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {z \over { - 2}},\cr&{d_2}:{{x - 2} \over 2} = {{y - 2} \over 4} = {z \over { - 4}}. \cr & {d_3}:{x \over 2} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1},{d_4}:{{x - 2} \over 2} = {y \over 2} = {{z - 1} \over { - 1}}. \cr} \) LG a Chứng minh hai đường thẳng d1và d2cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. Lời giải chi tiết: Đường thẳng d1đi qua điểm M1( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2; -2). Đường thẳngd2đi qua điểmM2(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng \(\overrightarrow {{u_2}} \)= 2\(\overrightarrow {{u_1}} \) nên d1, d2cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp(\(\alpha \)) Ta có vectơ pháp tuyến của mp(\(\alpha \)) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]= (0 ; -2 ; -2)\). Vậy phương trình mặt phẳng (\(\alpha \)) là: \(0(x - 1) - 2(y - 2) - 2(z - 0) = 0\) (\(\alpha ): y + z - 2 = 0.\) LG b Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d. Lời giải chi tiết: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d3và mp(\(\alpha \)). Toạ độ của A thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = {1 \over 2}\) Suy ra A= \(\left( {1;{1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\) Gọi B là giao điểm của đường thẳng d4và mp(\(\alpha \)). Tương tự như trên, ta có B = (4 ; 2 ; 0). Đường thẳng AB nằm trong (\(\alpha \)) cắt cả d3và d4. Mặt khác \(\overrightarrow {AB} \) =\(\left( {3;{3 \over 2}; - {3 \over 2}} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2 ; -2). Do đó AB cắt cả d]và d2. Vậy AB chính là đường thẳng d cần tìm. \(d:{{x - 4} \over 2} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 1}}\)
|